Теплопроводнсть плоской однородной, однослойной стенки

Про­стейшей и очень распространенной за­дачей, решаемой теорией теплообмена, является определение плотности тепло­вого потока, передаваемого через плоскую стенку толщиной δ, на повер­хностях которой поддерживаются темпе­ратуры t_c1 и t_С2 (рисунке 9.2). Температура изменяется только по толщине пласти­ны – по одной координате х. Такие за­дачи называются одномерными, решения их наиболее просты, и в данном курсе мы ограничимся рассмотрением только од­номерных задач. Учитывая, что для од­номерного случая

grad t = dt/dx, (9.3)

и используя основной закон теплопро­водности (9.1), получаем дифференци­альное уравнение стационарной тепло­проводности для плоской стенки:

q = – λdt/dx. (9.4)

В стационарных условиях, когда энергия не расходуется на нагрев, плот­ность теплового потока q неизменна по толщине стенки.

В большинстве практи­ческих задач приближенно пред­полагается, что коэффициент тепло­проводности λ не зависит от температуры и одинаков по всей толщине стенки. Зна­чение λ находят в справочниках при температуре

t = 0.5 · (t_c1 + t_c2), (9.5)

средней между температурами поверхно­стей стенки. (Погрешность расчетов при этом обычно меньше погрешности исход­ных данных и табличных величин, а при линейной зависимости коэффициента теплопроводности от температуры λ= a + bt точная расчетная формула для q не отличается от приближенной). При λ = const

dt/dx = –q/λ = const, (9.6)

т. е. зависимость температуры t от ко­ординаты х линейна (см. рисунок 9.1).

 

Рис. 9.2 – Стационарное распределение температуры по толщине плоской стенки

Разделив переменные в уравнении (9.6) и проинтегрировав по t от t_С1 до t_c2 и по х от 0 до δ:

, (9.7)

получим зависимость для расчета плот­ности теплового потока

q = (t_c1–t_c2)λ/δ (9.8)

или

Q = qF = (t_cl – t_c2)λF/δ. (9.9)

Полученная простейшая формула имеет очень широкое распространение в тепло­вых расчетах. По этой формуле не только рассчитывают плотности теплового пото­ка через плоские стенки, но и делают оценки для случаев более сложных, уп­рощенно заменяя в расчетах стенки сложной конфигурации на плоскую. Иногда уже на основании оценки тот или иной вариант отвергается без дальней­ших затрат времени на его детальную проработку.

По формуле (9.9) можно рассчитать коэффициент теплопроводности материа­ла, если экспериментально замерить теп­ловой поток и разность температур на поверхностях пластины (стенки) извест­ных размеров.

Отношение λF/δ называется тепловой проводимостью стенки, а обратная величина δ/(λF) тепло­вым или термическим сопротив­лением стенки и обозначается R_λ. Пользуясь понятием термического сопро­тивления, формулу для расчета теплово­го потока можно представить в виде

Q = (t_с1–t_с2)/R_λ (9.10)

аналогичном закону Ома в электротехни­ке (сила электрического тока равна раз­ности потенциалов, деленной на электри­ческое сопротивление проводника, по ко­торому течет ток).

Очень часто термическим сопротив­лением называют величину δ/λ, кото­рая равна термическому сопротивлению плоской стенки площадью 1 м².