Вариационный метод фазового синтеза. Примеры.

Пусть линейная антенная решетка (АР) состоит из излучателей, т. е. их номера n меняются от до , и амплитуда и фаза тока в n–м облучателе соответственно, тогда ее комплексная ДН определяется по формуле:

, (6.1)

где – расстояние между элементами, - угол места, отсчитываемый от оси, вдоль которой расположены элементы АР, - диаграмма направленности одиночного элемента.

Итак, пусть требуется получить амплитудную ДН, описываемую функцией . Считается, что данная задача не имеет точного решения, т. е. найденное АФР при подстановке в (1) будет давать лишь сходную с ДН. Таким образом, для решения задачи необходимо задаться критерием сходимости, таковым удобно выбрать минимум среднеквадратической ошибки:

, (6.2)

где - синтезированная ДН. Суть вариационного метода заключается в составлении функционала, подобного правой части (2), и его минимизации.

Рассмотрим две задачи: в первой известны и , требуется найти ; во второй задаче известны и , требуется найти .

Функционал для первой задачи выглядит так:

,..(6.3)

Второе слагаемое в (3) позволяет учесть ограничения на производную функции распределения тока, что позволяет избежать осциллирующего распределения, степень влияния этих ограничений на решение учитывает константа . В входят весовые функции и , они позволяют выделить наиболее важные участки в ДН и АФР, в самом простом исполнении и - кусочно-линейные функции. Минимизация функционала - задача нелинейного программирования, на каждом шаге которой коэффициент С в (3) должен быть равен . Как правило, стандартные программы минимизации входят в состав математических пакетов (например MathCad).

Функционал для второй задачи отличается незначительно:

(6.4)

Необходимо отметить, что данный метод весьма чувствителен к начальному приближению АФР, т. к. функционал (или ) помимо глобальных минимумов может иметь и локальные.

Рассмотрим пример использования вариационного метода для случая фазового синтеза. Пусть линейная ФАР состояит из 21 элемента, расстояние между которыми . Необходимо путем побора фазового распределения получить секторную ДН: с шириной главного лепестка 40°. В теории антенн известно, что для получения ДН с расширенным главным лепестком, необходимо, чтобы фазовое распределение менялось вдоль излучателя по квадратичному закону: , именно такое распределение удобно выбрать в качестве начального приближения. Параметром можно регулировать ширину главного лепестка ДН – чем он шире, тем больше значение . На рис. 1 показан системный множитель секторной ДН с шириной главного лепестка 40°, на рис. 2 найденное фазовое распределение, при решении .

Рис.1. Системный множитель Рис.2. Фазовое распределение

ДН на рис. 1 при высоком уровне боковых лепестков имеет небольшую неравномерность в пределах главного. Целесообразно обменять неравномерность вершины сектора на УБЛ, этого можно достичь, изменив весовую функцию . На рис. 3 представлена новая весовая функция, а на рис. 4. и рис. 5 новое фазовое распределение и получившаяся ДН соответственно.

Рис. 3. Весовая функция Рис. 4. Фазовое распределение

Рис. 5. Синтезированная ДН Рис. 6. Разность полученного фазового

распределения и начального

Весовая функция , изображенная на рис. 3 имеет низкий уровень в области вершины сектора, и повышенный в области боковых (особенно ближних) лепестков, такое представление позволяет произвести обмен неравномерности в пределах вершины главного лепестка ДН на УБЛ. Интересно посмотреть на разницу между начальным фазовым распределением и найденным (Рис. 6) – заметные отличия лишь на крайних излучателях ФАР, однако это приводит к заметному видоизменению ДН по сравнению с начальной (Рис. 5).

Естественно, что наилучшие результаты с точки зрения формы ДН, получаются при амплитудно-фазовом синтезе – в этом случае менять можно и фазовое и амплитудное распределение. Задача фазового синтеза решена, нужно минимизировать функционал вида (3), причем в качестве фиксированного фазового используется распределение, найденное на предыдущем этапе. Получившаяся амплитудная ДН представлена на рис. 7, на рис.8 показаны начальное и найденное амплитудное распределение.

Рис. 7. Синтезированная ДН Рис. 8. Начальное и полученное

амплитудное распределение

У ДН заметно снизился уровень боковых лепестков и практически отсутствует неравномерность в пределах вершины сектора, линейность склонов главного лепестка практически идеальная (на графике склоны выглядят нелинейными из-за использования логарифмического масштаба). При получении амплитудного распределения не учитывались никакие ограничения, функция оставлена без изменений.

Как видно вариационные методы дают большие возможности по синтезу антенн, однако их главным недостатком является крайне малое быстродействие. Произведенный синтез реализован в программе MathCad, каждая минимизация занимает несколько минут (на компьютере с 2-х ядерным процессором и 1 ГБ оперативной памяти). При этом нужно учесть, что антенная решетка – линейная и состоит из 21 элемента, большинство реальных решеток – планарные и состоят из куда большего числа элементов, что сильно затрудняет применение вариационных методов для решения задач синтеза реальных антенн.

7. Фазовый синтез