Разработка схем активных фильтров по заданным требованиям к их ЛАЧХ
Исходные данные для проектирования фильтра содержат требования к частотной характеристике в области полосы пропускания и в переходной области от полосы пропускания к полосе задерживания. Так, для полосы пропускания задаются ее границы и максимально допустимое отклонение модуля коэффициента передачи сигнала от заданного значения, выраженное в децибелах и обозначаемое , для переходной области задается минимально допустимое затухание на заданной частоте выраженное также в децибелах и обозначаемое .
Для реализации частотной характеристики, удовлетворяющей заданным требованиям, необходимо решить задачу выбора подходящей функции или .
В общем виде для можно записать
, где (1)
Полиномы числителя и знаменателя можно разложить на множители и записать
, (2)
где и - нули и полюсы комплексной функции .
При четном все нули (полюсы) образуют комплексно-сопряженные пары, при этом
, (3)
где , а .
При нечетном получим
. (4)
Таким образом, в общем случае, например, для фильтра нижних частот передаточная функция представляется в виде
, (5)
а соответствующая структурная схема представляет собой каскадное соединение звеньев второго порядка и одного звена 1-ого порядка.
При решении задачи аппроксимации заданной частотной характеристики определяют порядок фильтра, т.е. величину , значения постоянных коэффициентов таким образом, чтобы обеспечить выполнение заданных требований и получить аналитическое выражение для аппроксимирующей функции, например, ФНЧ в виде (5). Это оказывается возможным при использовании для целей аппроксимации полиномов Баттерворта и Чебышева, отличительной особенностью которых является то, что они дают возможность аналитического определения значений корней при любом порядке полинома.
Полином Баттерворта имеет вид
, (6)
при его использовании для аппроксимации квадрата модуля частотной характеристики ФНЧ получаем
, (7)
где - некоторая нормированная (безразмерная) частота. При использовании логарифмического масштаба (7) определяется как . На Рис.1 представлены графики соответствующих частотных характеристик для различных значений и шага кратности по , обозначенного через .
Рис.1. Семейство графиков нормированных логарифмических частотных характеристик ФНЧ Баттерворта.
Связь задаваемых для ФНЧ параметров с коэффициентами и определяется следующим образом: величина отклонения логарифмической частотной характеристики от максимального уровня ноль децибелл на частоте соответствует частоте и равно
[дб]
При использовании линейного масштаба величина отклонения квадрата модуля ЧХ на этой же частоте равна .
При заданной величине максимально допустимого отклонения логарифмической частотной характеристики (ЛЧХ) на нормированной частоте величина может быть определена из уравнения , откуда получаем
(8)
При заданном минимально допустимом затухании на частоте , аналогично составляем уравнение , подставляя в которое уже найденное значение и решая его относительно получаем
(9)
При известных значениях и полином Баттерворта может быть представлен в виде произведений квадратных трехчленов и двучленов с известными коэффициентами, которые приводятся в соответствующих таблицах.
Полином Чебышева имеет вид
, (10)
при его использовании для аппроксимации квадрата модуля частотной характеристики ФНЧ получаем
(11)
Полиномиальная форма (10) может быть получена на основе следующих рекурентных соотношений
, , , ... . (12)
На Рис.2 приведены графики ЛЧХ ФНЧ Чебышева для различных и
Рис.2. Семейство графиков нормированных логарифмических частотных характеристик ФНЧ Чебышева
Как видно, отличительной особенностью фильтров Чебышева является волнообразный характер частотной характеристики в пределах полосы пропускания.
При выборе аппроксимации заданной частотной характеристики по Чебышеву необходимый порядок фильтра определяется по формуле
(13)
Вычисление корней полиномов Баттерворта.
Корни полинома Баттерворта определяются в результате решения уравнения вида:
. Введем комплексную переменную , тогда и исходное уравнение принимает вид: . Из этого уравнения получаем:
, откуда формула для вычисления k-ого корня полинома порядка n определяется в виде . Так, для n=2 получаем
, , , . Расположению корней на комплексной плоскости соответствует следующая круговая диаграмма. Ось мнимых чисел на диаграмме направлена вертикально, а ось вещественных чисел горизонтально. Из диаграммы видно, что пары корней и
являются комплексно-сопряженными, им соответствуют аргументы 45 градусов, 315 градусов и 225 градусов, 135 градусов, соответственно.
При известных значениях корней исходный полином представляется в виде
.
Для первой и второй квадратных скобок соответственно получаем:
,
, таким образом, квадрат модуля полинома Баттерворта второго порядка представляется в виде произведения комплексно-сопряженных множителей второго порядка, каждому из которых может быть сопоставлена одна из ранее рассмотренных схем активных фильтров второго порядка. На этом основан метод проектирования схемы по заданным требованиям к частотной характеристике.
Вычисление корней полинома Чебышева.
Корни полиномов Чебышева определяются в результате решения уравнения вида
. Приведем это уравнение к виду
и для решения используем подстановку
, тогда . Далее определим
.
C учетом того, что в правой части мнимое число, можем вещественное слагаемое левой части приравнять нулю: , откуда , , . Из равенства мнимых частей слева и справа получим:
, откуда . Окончательно для k-ого корня получаем в общем виде формулу: .
Формулы для полиномов Баттерворта и Чебышева в виде произведения сомножителей второго и первого порядка приводятся в литературе по проектированию фильтров, см., например, Мошиц Г., Хорн П. Проектирование активных фильтров. М.:Мир, 1984.
Методика разработки схем изложена в методическом пособии “ Применение интегральных микросхем операционных усилителей в схемах активных RC-фильтров и стабилизированных RC-генераторов” , автор Кавокин В.П., издание СПбГМТУ, 1997.