Изучение земной поверхности. Масштаб

Цель работы: приобретение навыков определения расстояний и площадей на местности по её изображению на планах и картах.

Оборудование: планиметр, курвиметр, палетка, планы, карты, чертёжные и измерительные инструменты.

 

 

Порядок работы

 

1. В соответствии с индивидуальным заданием (прил. 1 и 7) вычертить на бумаге график функции (в общем виде заданной уравнением параболы второго порядка) у = ах² + bx + c. Для построения графика нужно определить минимум функции, т.е. найти первую производную: y’ = 2ax + b. Пример дан в прил. 11.

2. В соответствии с индивидуальным заданием выделить на чертеже криволинейную трапецию OABC, определить её площадь и длину кривой и прямой АВ. Для определения длины кривой АВ можно использовать уравнение

 

l = ∫ dx.

 

Подкоренное выражение здесь также имеет вид уравнения параболы второго порядка ax² + bx + c. Приняв последнее выражение за М и введя дополнительные показатели

 

Δ = 4ac – b² и k = 4a / Δ,

 

длину кривой можно определить по уравнению

 

 

∫ dx = (2ax + b) / 4a + (1/2k)∫dx / ,

 

 

но так как ∫dx / = (1/) ln (2 + 2ax + b), уравнение приобретает вид

 

 

∫dx = (2ax + b) / 4a +

 

+ (1/2k)(1/) ln(2+ 2ax + b) ,

 

а в нашем случае длина кривой может быть рассчитана через нахождение интеграла:

 

dx ={[(2ax – b)] / 4a + [(4ac + b²) / 8a]×

×(1/ ) ln(2},

 

так как

 

∫ dx = F(max) – F(min).

 

Длину кривой АВ требуется измерить нитью и линейкой, а также с помощью курвиметра.

Длину прямой АВ, в свою очередь, можно определить с помощью курвиметра, с помощью линейки и алгебраически, применяя теорему Пифагора.

Площадь криволинейной трапеции (S) определяется путём её разбивки на простейшие геометрические фигуры и вычисления суммарной площади этих фигур. Другой способ – использование палетки или планиметра. Но самый точный результат даёт, конечно, алгебраический метод расчёта площади путём нахождения определённого интеграла на отрезке ОС, т.е. с использованием уравнения Ньютона-Лейбница, что особых усилий не требует.

 

S = dx = F(max) – F(min),

 

в нашем случае

 

 

S = = .

 

3. Результаты измерения, полученные различными способами, соотнести с рассчитанными алгебраически. Ошибку выразить в процентах.

4. Результаты расчёта представить в виде следующей таблицы:

 

 

Таблица 4