Время релаксации и длина свободного пробега
Выясним теперь физический смысл коэффициента t.
Предположим, что, после того как скорость направленного движения электронов достигла стационарного значения vД, поле Е выключено. Вследствие столкновений электронов с дефектами решетки эта скорость начнет уменьшаться, и электронный газ будет переходить в равновесное состояние. Такие процессы установления равновесия в системе, ранее выведенной из этого состояния, называют релаксацией. Полагая в (5.3) qЕ=0, получим уравнение, описывающее переход электронного газа в равновесное состояние — процесс его релаксации:
(5.6)
Интегрируя (5.6), находим
(5.7)
где vД(t) - скорость направленного движения электронов по истечении времени t после выключения поля.
Из уравнения (5.7) следует, что τ характеризует скорость установления в системе равновесного состояния: чем меньше τ, тем быстрее возбужденная система приходит в равновесие. За время t = τ скорость направленного движения электронов уменьшается в е = 2,7 раза. Время τ называется временем релаксации. Для чистых металлов τ≈10-10 с.
Движение электронов в кристалле удобно описывать, используя понятие длины свободного пробега. По аналогии с кинетической теорией газов можно считать, что электрон движется в кристалле прямолинейно до тех пор, пока не встретится с дефектом решетки и не рассеется. Средний отрезок пути λ, который проходит электрон между двумя последовательными актами рассеяния, принимается за длину свободного пробега электрона.
Если бы электрон уже в единичном акте рассеяния полностью терял скорость в данном направлении и возвращался в первоначальное состояние хаотического движения, то средняя длина свободного пробега равнялась бы просто произведению средней скорости движения электронов v на время релаксации τ, которое в этом случае представляло бы собой просто время свободного движения электрона:
λ=v·τ (5.8)
Часто, однако, для полного уничтожения скорости в данном направлении требуется не одно, а в среднем υ столкновений с рассеивающими центрами. Только после υ столкновений исчезает всякая корреляция между начальной и конечной скоростями движения электронов. Время, в течение которого будет происходить рассасывание направленного движения электронов, и в этом случае представляет собой время релаксации. Но средний путь, который пройдет электрон за это время, равен уже не λ, а
L=λ·υ=v·τ (5.9J
Величину L называют средней транспортной длиной свободного пробега.
Из (5.9) следует, что
τ=υλ/v. (5.10)
Тот факт, что под действием электрического поля Е в проводнике возникает дрейф свободных носителей заряда, приводящий к появлению электрического тока, свидетельствует о том, что поле Е изменяет характер распределения свободных электронов по состояниям, т. е. вид функции распределения f(E), так как равновесная функция распределения f0(Е) не может привести к появлению тока. На рис. 5.1, а, б пунктиром показаны графики функций распределения для электронов после установления постоянной скорости дрейфа. Из рис. 5.1 видно, что влияние внешнего поля E на функцию распределения электронов по состояниям сводится к смещению всего распределения на величину vД=qEτ/mn в направлении, противоположном E. Вследствие такого смещения функции распределения перестают быть симметричными относительно оси ординат, и средняя скорость движения электронов в направлении оси х уже не будет равна нулю, как в отсутствие поля Е. Легко показать, что средняя скорость в этом случае будет равна скорости дрейфа vД.