Вероятностная постановка принятия предпочтительных решений

 

Риск — категория вероятностная, поэтому в процессе оценки неопределенности и количественного определения риска исполь­зуют вероятностные расчеты.

Вероятностные задачи характеризуются тем, что эффектив­ность принимаемых решений зависит не только от детерминиро­ванных факторов, но и от вероятностей их появления, т.е. извес­тен закон распределения управляемых факторов X в виде:

x x1 x2 xn
P P1 P2 Pn

где Pi есть вероятность появления управляемого фактора хi, i = .

 

Каждой паре (хi, Рi) соответствует значение функции эффек­тивности E(xi, Pi). В качестве показателей эффективности могут выступать математическое ожидание Е, дисперсия D, среднее квадратическое отклонение и другие вероятностные характеристики.

(3.1)

где Е2 — среднее ожидаемое значение квадрата рассматриваемой величи­ны.

 

Средняя величина Е представляет собой обобщенную количе­ственную характеристику и не позволяет принять решение в пользу какого-либо варианта вложения капитала.

Среднее квадратическое отклонение σ является именованной величиной и указывается в тех же единицах, в каких измеряется варьирующий признак. Дисперсия и среднее квадратическое от­клонение являются мерами абсолютной колеблемости.

Дисперсия не дает полной картины линейных уклонений ΔХ = Х - Е, более наглядных для оценивания рисков. Тем не ме­нее, задание дисперсии позволяет установить связь между линей­ным и квадратичными отклонениями с помощью известного не­равенства Чебышева.

Вероятность Р того, что случайная величина X отклоняется от своего математического ожидания больше, чем на заданный до­пуск ε > 0, не превосходит ее дисперсии, деленной на ε2, т.е.

(3.2)

 

Отсюда видно, что незначительному риску по среднеквадратическому отклонению соответствует малый риск и по линейным отклонениям: точки X с большой вероятностью будут распола­гаться внутри ε — окрестности ожидаемого значения Е.

Все более признанным становится оценка рискованности по­средством среднего квадратического отклонения σ.

Итак, будем считать, что риском операции называется число σ — среднее квадратическое отклонение управляемого фактора (например, дохода) X операции, которое обозначим r = σ.

Если, например, под X понимать случайный доход Q, то EQ представляет собой средний ожидаемый доход, или эффектив­ность, а среднее квадратическое отклонение σQ является оценкой рискованности, риском и обозначается rQ.

Коэффициент вариации V — безразмерная величина. С его помощью можно сравнивать даже колеблемость признаков, вы­раженных в разных единицах измерения. Коэффициент вариации изменяется от 0 до 100%. Чем больше коэффициент, тем сильнее колеблемость. Установлена следующая качественная оценка раз­личных значений коэффициента вариации: до 10% — слабая колеблемость, 10—25% — умеренная колеблемость, свыше 25% — высокая колеблемость.

С помощью этого метода оценки риска, т.е. на основе расчета дисперсии, стандартного отклонения и коэффициента вариации можно оценить риск не только конкретной сделки, но и предпри­нимательской фирмы в целом (проанализировав динамику ее до­ходов) за некоторый промежуток времени.

Преимуществом данного метода оценки предпринимательско­го риска является несложность математических расчетов, а явным недостатком — необходимость большого числа исходных данных (чем больше массив, тем достовернее оценка риска).

Рассмотрим данный метод на конкретном примере. Сравним по риску вложения в акции трех типов А, В, С, если каждая из них по своему откликается на возможные рыночные ситуации, дости­гая с известными вероятностями определенных значений доход­ности (табл. 3.1).

Таблица 3.1

 

 

Тип акций Ситуация 1 Ситуация 2
вероятность доходность вероятность доходность
А 0,5 20% 0,5 10%
В 0,99 15,1% 0,01 5,1%
С 0,7 13% 0,3 7%

 

По формулам (3.1) находим для акции А:

ЕА = 20 • 0,5 + 10 • 0,5 = 15%,

DA = (20 - 15)2 • 0,5 + (10 - 15)2 • 0,5 = 25,

σA ==5%,

для акции В:

ЕB = 15,1 • 0,99 + 5,1 • 0,01 = 15%,

DB = (15,1 - 15)2 • 0,99 + (5,1 - 15)2 • 0,01 = 0,99,

σB = 0,995%,

для акции С:

ЕC = 13 • 0,7 + 7 • 0,3 = 11,2%,

DC = (13 – 11,2)2 • 0,7 + (7 – 11,2)2 • 0,3 = 7,56,

σC = 2,75%,

 

Так как наименьшее значение коэффициента вариации имеем для акции В, то и вложения в эту акцию наиболее предпочтитель­ны, тем более, что и σB = rB = 0,995% наименьшее.

Особый вариант риска связан с разорением. Так называется вероятность столь больших потерь (х < Е), которые ЛПР не мо­жет компенсировать и которые, следовательно, ведут к его разо­рению.

Пример. Пусть случайный доход операции О имеет следую­щий ряд распределения:

O: -60 -40 -30
0,1 0,2 0,5 0,2

и потери 30 или более ведут к разорению ЛПР. Следовательно, вероятность возникновения риска разорения в результате данной операции равна 0,1 + 0,2 + 0,5 = 0,8.

Серьезность риска разорения оценивается именно величиной соответствующей вероятности. Если эта вероятность очень мала, то ею часто пренебрегают (в конце концов вероятность разорения отлична от нуля почти в любой сделке — из-за весьма маловеро­ятных катастрофических событий на финансовых рынках, в мас­штабах государства, из-за природных явлений и т.п.).

Определим вероятностную меру разорения, приписывая ей вероятность осуществления подобного события.

Пример. Предположим, что на рынке могут возникнуть толь­ко два исхода и на каждый из них акции А и В откликаются неслу­чайным образом. Вероятности этих исходов и соответствующих им значений доходности задаются табл. 3.2.

Таблица 3.2

  Исход 1 Исход 2
вероятность доходность вероятность доходность
А 0,3 6% 0,7 2%
В 0,2 -1% 0,8 4,25%

Ожидаемые доходности акций:

ЕА = 6 • 0,3 + 2 • 0,7 = 3,2%, ЕB = - 1 • 0,2 + 4,25 • 0,8 = 3,2%

совпадают, а дисперсии (квадратичные характеристики рисков) равны:

DA = (6 - 3,2)2 • 0,3 + (2 - 3,2)2 • 0,7 = 3,35, σА = rА = 1,83,

DB = (- 1 - 3,2)2 • 0,2 + (4,25 - 3,2)2 • 0,8 = 3,41, σB = σB = 1,85.

 

Предположим теперь, что инвестор взял деньги в долг под процент, равный 2,5%. Ставка процента по кредиту ниже ожида­емой доходности по акциям, которые будут приобретены на за­емные деньги, поэтому действия инвестора вполне разумны.

Однако, если инвестор вложил деньги в акции А, то при исходе 1 он выиграет (6 - 2,5) = 3,5%, а при исходе 2 проиграет (2 - 2,5) = - 0,5%, причем с вероятностью Р2 = 0,7. Напротив, если он вложит деньги в актив В, то разорение ему грозит с вероятнос­тью Р1 = 0,2 в первой ситуации (исход 1), когда он теряет (- 1 - 2,5) = - 3,5%.

Подсчитаем ожидаемые потери (П) при покупке акций А и В соответственно: ПА = 0,5 • 0,7 = 0,35, ПВ = 3,5 • 0,2 = 0,7.

Как видим, в первом случае они меньше. Зато риски разоре­ния, оцениваемые через вероятность наступления события, наобо­рот, при приобретении акций А будут больше (0,7 > 0,2). Это пре­вышение возможности банкротства должно отпугивать осторож­ного вкладчика, который к тому же «играет» на заемном капитале, от акции А в пользу бумаг В.

В свою очередь, ожидаемый риск ПА < ПВ склоняет его к вы­бору в пользу акций А. Как действовать в подобной ситуации инвестору? Это зависит от его индивидуальных предпочтений, выражаемых в том числе, функцией полезности инвестора.

В рассматриваемых статистических играх используются по­нятия: риск (функция риск), потери (функция потерь), решение (функция решения), функции распределения при определенных условиях.

Между определенностью и неопределенностью находится слу­чай принятия решения в условиях риска, когда можно оценить вероятность возникновения каждого возможного условия. Широ­ко используемый подход при таких обстоятельствах — критерий предполагаемого выигрыша.

Предполагаемый выигрыш рассчитывается для каждой аль­тернативы, после чего отбирается альтернатива с самым высоким показателем. Предполагаемый выигрыш — это сумма значений выигрыша для каждой альтернативы, причем, каждое значение взвешивается с точки зрения вероятности соответствующего ус­ловия. Таким образом, используя критерий предполагаемого вы­игрыша, можно определить возможное значение выигрыша для каждой альтернативы и выбирать вариант с наилучшим значени­ем выигрыша.

В случае стохастической неопределенности, когда неуправ­ляемым факторам (состояниям природы) поставлены в соответ­ствие вероятности, заданные экспертно или вычисленные, ре­шение обычно принимается на основе критерия максимума ожидаемого среднего выигрыша или минимума ожидаемого сред­него риска.

Если для каждой игры с природой, задаваемой платежной мат­рицей Р = , i = , j = , стратегиям природы Пj, соответ­ствуют вероятности Pj, то лучшей стратегией игрока один будет та, которая обеспечивает ему максимальный средний выигрыш, т.е.

(3.3)

 

Применительно к матрице рисков (матрице упущенных воз­можностей (выгод)) лучшей будет та стратегия игрока, которая обеспечивает ему минимальный средний риск

(3.4)

Когда говорится о среднем выигрыше или риске, то подразу­мевается многократное повторение процесса принятия решений, хотя реально требуемого количества повторений чаще всего мо­жет и не быть.

Пусть платежная матрица имеет вид:

По формуле

где при заданном j, строим матрицу рисков R.

 

Находим β1 = max (5, 2, 8, 1) = 8, β2 = 5, β3 = 8, β4 = 12 и тогда

Предположим, что вероятности Рj равны: Рj = . По формуле (3.4) находим средний ожидаемый риск:

 

Минимальный средний ожидаемый риск:

По формуле (3.3) найден средний ожидаемый выигрыш

 

Максимальный средний ожидаемый доход

 

Вероятностная постановка задачи выбора оптимальных реше­ний в экономике более адекватно отображает реальные ситуации. Поэтому применение вероятностных моделей во многих случаях позволяет уменьшить риск при выборе наиболее эффективных решений. Однако применение указанных моделей связано с не­обходимостью определения вероятностных характеристик ана­лизируемых процессов (ситуаций). Это существенно усложняет решение рассматриваемых задач. Во многих случаях вероят­ностное распределение экономических показателей бывает не­известным. Поэтому возникает необходимость определения предпочтительных альтернатив при условии, что вероятностные характеристики экономических показателей являются неизвест­ными.

В условиях полной неопределенности, когда вероятности рас­сматриваемых ситуаций неизвестны, можно пользоваться пра­вилом Лапласа, заключающимся в том, что все неизвестные вероятности Pj считают равными. После этого выбор эффектив­ного решения можно принимать или по правилу максимизации среднего ожидаемого выигрыша или по правилу миними­зации среднего риска. Подобный критерий принятия ре­шения можно назвать принципом недостаточного обоснования Лапласа.