Построение расчетной схемы, типы конечных элементов

Привести внятные и однозначные рекомендации по выбору и построению расчетных схем сооружений различного назначения, обладающих разными конструктивными решениями, практически невозможно. Это, по-видимому, можно сделать, лишь ограничившись гораздо более узким классом объектов. Нужно помнить, что любой набор правил для построения моделей может, в лучшем случае, иметь только ограниченную область применения, а в худшем случае – даже помешать проявлению необходимой интуиции.

В силу сказанного, все, что приведено ниже, нужно рассматривать, во-первых, только как очень мягкие рекомендации и, во-вторых, заранее настроиться на отрывочный стиль изложения.

Но прежде, чем переходить непосредственно к рекомендациям, имеет смысл обратить внимание на следующий аспект в построении расчетной схемы. Расчетная схема интересует инженера не сама по себе, а в качестве промежуточной модели для определения напряженно-деформированного состояния конструкции, для оценки инженером таких показателей конструкции как ее способность быть возведенной, надежно эксплуатируемой, экономичной и т.д. В этой связи, в процессе получения результирующей информации расчет условно можно разбить на четыре шага (Рис.5).

Первый шаг – переход от реальной конструкции к ее математической модели. Второй шаг – переход от математической модели к расчетной модели, приспособленной к возможностям конкретного инструмента вычислений. Третий шаг – описание этой расчетной схемы доступными средствами избранного программного обеспечения, проведение самого расчета, получение численных результатов расчета. И, наконец, последний шаг связан с интерпретацией и анализом результатов расчета и получением итоговой информации.

 

Рис.5. Погрешности на разных шагах расчета.

 

На каждом из этих шагов роль или степень участия инженера-расчетчика и роль используемого программного обеспечения различны, равно как и различна их ответственность. Важно обратить внимание на то, что каждый из этих шагов содержит элементы моделирования, а значит – вносит и свою долю в накопление погрешностей при переходе от реальной конструкции к итоговой информации.

 

4.1. Определяющие параметры и число степеней свободы

В последнее время наблюдается явно выраженная тенденция все большего усложнения используемых расчетных схем и увеличения их размерности.

Расчетные задачи большой размерности совершенно естественно возникают при анализе трехмерных проблем механики сплошной среды в конечно-элементной постановке. Размер такой задачи может быть до десятков тысяч неизвестных даже в случае областей, не слишком отличающихся от канонических. Именно такие пространственные задачи порождают естественный спрос на программы большой мощности, и для удовлетворения подобного спроса разработчики непрерывно наращивают их возможности. Однако затем эти программные продукты используются и при решении задач расчета стержневых несущих каркасов, создавая соблазн для расчетчика применить подробную расчетную схему каркаса, включающую в себя десятки тысяч упругих элементов и узлов.

Казалось бы, что никакой разницы в двух описанных выше случаях нет. Однако, это не так. Задача механики сплошной среды для своего описания требует только аккуратного задания геометрии тела, а характеристики материала задаются несколькими параметрами. Для сложного стержневого каркаса массив исходных параметров весьма велик и разнороден. Большинство таких параметров, по сути, являются случайными величинами, для которых расчетчик задает лишь некоторую возможную реализацию значений. Поэтому с увеличением числа задаваемых параметров возрастает степень неопределенности расчетной модели в целом.

Увеличение размерности задач приводит к резкому росту трудозатрат на подготовку исходной информации и на анализ результатов. На Рис.6 представлены усредненные данные о распределении трудозатрат при использовании известной системы ANSYS, специально предназначенной для решения больших задач.

 

Рис.6. Распределение затрат труда.

 

Эти данные хорошо иллюстрируют тот факт, что работа с данными о расчетной схеме занимает большой объем (36%) трудозатрат (создание геометрической модели – 8%, разбивка на конечные элементы – 8%, постановка граничных условий – 10%, приложение нагрузок – 10%). И для экономии труда требуется возможно более тщательное обоснование разумной степени сложности расчетных моделей.

Но дело не только в росте трудозатрат на подготовку данных и анализ результатов. Порой формальная разбивка конструкции в дискретной расчетной схеме на «лапшу» из тысяч конечных элементов приводит лишь к кажущейся эффективности и повышению точности в решении задачи. На самом деле точность может существенно понизиться в связи с неизбежным наращиванием погрешностей вычислений при увеличении по порядку количества неизвестных в дискретной схеме. Вряд ли разумно разбивать стержни стержневого каркаса здания на трехмерные конечные элементы.

Идея МКЭ в самом общем виде заключается в разделении исследуемой области (конструкции) на ряд более мелких подобластей (конечных элементов) несложной геометрической формы – стержень, треугольная или четырехугольная пластинка, тетраэдр, призма и т. п. Вершинами таких конечных элементов являются узлы – абсолютно жесткие тела бесконечно малых размеров. Положение узла в пространстве определяется шестью координатами (степенями свободы) – три линейных перемещения по координатным осям и три угла поворота относительно этих же осей. Именно в узлах (и только в узлах!) элементы предполагаются соединенными между собой. При этом могут быть реализованы различные варианты сопряжений как элементов друг с другом, так и элементов с узлами.

Построение расчетной схемы всегда есть определенный компромисс. Чтобы с помощью этой схемы можно было получить результаты, имеющие смысл и прикладное значение, она должна быть достаточно детальной и сложной. В то же время, она должна быть достаточно простой, чтобы можно было получить решение при таких ограничениях, как сроки, доступное программное обеспечение, квалификация исполнителей, возможности анализа и осмысления получаемых результатов, а также адекватной по точности исходной модели.

Подавляющее число достижений теории сооружений связано с тем, что удавалось выделить объекты с относительно небольшим числом определяющих параметров, взаимодействие отдельных частей которых было относительно слабым. Для таких систем можно сформулировать и решить задачу в такой постановке, когда отыскивался «полный ответ», то есть детальная картина напряженно-деформированного состояния всех элементов системы. Такая постановка задачи настолько укоренилась в расчетной практике, что считалась единственно возможной и без критического анализа переносилась на большие системы.

К числу наиболее мощных приемов упрощения принадлежит использование некоторых кинематических гипотез, с помощью которых поведение больших групп «независимых» переменных представляется через относительно небольшое число определяющих параметров. Типичным примером является использование гипотезы плоских сечений в теории стержней Бернулли-Эйлера.

Аналогичны гипотезы об отсутствии деформаций в плоскости перекрытий многоэтажного здания, когда они представляются абсолютно жесткими диафрагмами, а здание в целом рассчитывается на горизонтальные нагрузки как система соединенных упругими вертикальными связями горизонтальных дисков, движущихся только в горизонтальной плоскости. Все эти приемы агрегирования переменных и использования некоторых обобщенных координат важны не столько для уменьшения размерности задачи, сколько для сжатия информации с целью большего удобства ее осмысления. Кроме того, такие приемы важны в тех случаях, когда данные о внешних воздействиях не детализированы в такой степени, чтобы их можно было корректно «привязать» к детальной расчетной схеме.

 

4.2. Модель нагружения – составная часть расчетной схемы

Идеализация воздействий является одним из важнейших этапов создания расчетной схемы. Действующие нормы проектирования сформулированы как универсальные и не связываются с той частью расчетной модели, которая описывает конструкцию сооружения. Такой подход справедлив, если нагрузка, моделирующая воздействие окружающей среды на сооружение, никак не определяется работой самого сооружения. Но иногда приходится вспоминать, что есть не только действие нагрузки на систему, но и взаимодействие нагрузки с системой.

К числу характерных примеров взаимодействия нагрузки с системой относятся режимы динамического нагружения. Сооружение является некоторым фильтром, отбирающим из действующих на него возмущений определенную часть. Причем фильтрация может происходить не только по частоте воздействия (резонансные явления), но и по длине волны. Например, сейсмическое воздействие на объект с малыми размерами в плане (башня, дымовая труба) и на сооружение большой протяженности, расположенное на общей фундаментной плите (корпус элеватора, атомная электростанция), оказывается существенно разным. В первом случае сооружение будет реагировать на волны всех длин, а во втором случае – только на волны, длина которых примерно вдвое превышает размер фундамента в плане. Аналогичные эффекты следует учитывать при расчете гидротехнических объектов. Так, для конструкций морских глубоководных оснований удается заметно снизить общий уровень загруженности, если их генеральные размеры подобраны так, что на противоположных сторонах сооружения волновая нагрузка действует в противофазе.

Еще одним примером взаимодействия нагрузки с сооружением является аэродинамическое нагружение. Его величина существенно зависит от формы конструкции, обтекаемой ветровым потоком: увеличение поперечных размеров сечения увеличивает ветровую нагрузку, что в свою очередь может вызвать увеличение размеров сечения. Этот процесс называется эффектом положительной обратной связи. Нужно следить, чтобы этот эффект был затухающим, иначе очень сложно запроектировать конструкцию.

Аналогичная положительная обратная связь возникает при учете собственного веса, а также в случаях нагружения гибких конструкций весом слоя жидкости (задача о заполняемой емкости). В последнем случае прогибы конструкции увеличивают толщину слоя жидкости, что приводит вновь к увеличению прогибов.

Очень часто реальные связи, ограничивающие перемещение конструкции, отбрасывают, заменяя их соответствующими нагрузками. В этом случае очень важно понимать, не влияет ли деформация системы на нагрузку. Особое внимание следует обращать на корректную передачу взаимодействия отброшенной части конструкции с рассматриваемой.

Существуют два способа задания нагружения: силовой и деформационный. В первом случае напряжения в конструкции создаются приложением некоторой силы; во втором – принудительным деформированием. Для систем, работающих упруго, разница в способе задания не проявляется. В неупругих же системах увеличение нагрузки, заданной по первому способу приводит к разрушению конструкций, по второму – к росту остаточных деформаций.

Необходимость расчета на заданные перемещения возникает в практике проектирования чаще всего тогда, когда рассматриваемая система прикреплена к другой, намного более мощной системе, которая не входит в расчетную модель. Если эта мощная система испытывает некоторые деформации, то для рассчитываемой конструкции следует учесть навязываемые смещения опорных узлов.

 

Кроме статического, воздействия могут носить температурный и динамический характер. Стандартными случаями динамического загружения являются:

- пульсации ветрового потока;

- сейсмическая нагрузка;

- импульсная и ударная нагрузки для различных законов изменения во времени.

 

В настоящее время большой процент ошибок расчета связан с ошибками при составлении расчетных схем. К числу основных приемов контроля можно отнести следующие проверки:

- размерностей используемых величин;

- характера зависимости результата от изменения некоторых исходных данных (симметрия, нечувствительность к некоторым параметрам);

- поведения системы при экстремальных либо известных из практики значениях определенных параметров;

- устойчивость расчетной модели по отношению к малым изменениям ее структуры или значений параметров;

- соблюдения выводов, вытекающих из теорем взаимности (перемещений, усилий, работ).

 

Отдельным вопросом при формировании расчетных схем является вопрос их экспериментального обоснования. При этом в обязательном порядке следует контролировать правильность закладываемых в расчетной модели расчетных предпосылок на натурных моделях (вычислительный эксперимент и натурный эксперимент должны иметь одинаковые модели).

 

4.3. Метод конечных элементов и типы конечных элементов

Еще около полувека назад практически любую строительную конструкцию можно было рассчитать с помощью сравнительно несложных расчетных схем, применяя при этом готовые формулы сопротивления материалов. Идеологией этого являлся известный со времен древних греков аналитический метод проведения исследований, органически присущий человеческому мышлению. Как известно, в основе его лежит принцип, сформулированный в концентрированном виде выдающимся французским философом и математиком Нового времени Р. Декартом: «Расчлените каждую исследуемую вами задачу на столько частей ..., сколько будет необходимо, чтобы было легче ее решить».

Именно так и поступали при расчете строительных конструкций, разделяя их на ряд простых элементов, работа каждого из которых вписывалась в одно из хорошо известных частных решений задач теории упругости. При этом подразумевалось, что в конструкции этот элемент будет вести себя примерно аналогичным образом либо не хуже с точки зрения прочности, жесткости и т. д., чем в выбранной расчетной схеме. Такое допущение являлось вполне приемлемым поскольку, говоря языком инженеров, работало «в запас прочности».

Однако, постепенное усложнение сооружений, вызванное извечным стремлением человека сотворить нечто более грандиозное и более универсальное, чем существующее, с одной стороны, а также, выдвинувшиеся на передний план вопросы безопасности, эстетичности и экономичности создаваемых конструкций, с другой стороны, вели к необходимости качественного пересмотра методов анализа их работы. Стало очевидным, что разработка более совершенных образцов сооружений, например, необычной архитектуры либо гигантских размеров и вместимости, возможны только при существенном усложнении расчетных схем. Однако, именно здесь имеющийся аналитический аппарат строительной механики оказался, мягко говоря, недостаточным. Дело в том, что решение ряда важнейших практических задач, как например, расчет оребренной оболочки под действием даже равномерно распределенного по всей ее площади давления, вызывает серьезнейшие математические трудности. И если даже удается вывести систему исходных уравнений, описывающих существо задачи с приемлемой точностью, то их решение в настоящее время во многих случаях не представляется возможным получить в замкнутой форме, пригодной для дальнейших исследований и практического применения, и неизвестно, можно ли вообще это сделать.

Именно такая ситуация и послужила причиной одной из так называемых «точек замерзания» в современной теории расчета строительных конструкций, когда достаточно сложные сооружения рассчитываются методом расчленения на отдельные элементы с использованием примитивнейших плоских расчетных схем. При этом бывает еще и достаточно непросто оценить, насколько верно описывают они работу реальных объектов, насколько большие запасы закладываются при этом, да и имеются ли они вообще.

Фактически, на данном этапе проблема во многом сводится к необходимости учета пространственности работы сооружений, возможности расчета их как единых целостных системы, без упрощений в их структуре. Этому способствовало также осознание роли синтеза в научных исследованиях. Стало ясно, что его значение не сводится только к соединению отдельных элементов, полученных при анализе. Важнейшее значение имеет целостность системы, т. е. конструкции. Она нарушается при анализе, при этом утрачиваются не только свойства самой системы, но и ее отдельных частей, присущих им в этой системе. Аналитический подход предполагает лишь раскрытие структуры системы, а синтетический дает понимание того, как и почему она работает.

Инженерная мысль к настоящему времени определила три основных направления решения данной проблемы. Во-первых, продолжаются настойчивые попытки получить пригодные к практической реализации аналитические решения ряда важных строительных задач, в основном, имеющих пространственный характер. Пусть даже поначалу такие решения будут несколько приближенно описывать реальное существо вопроса, но как правило, имеет место устойчивая тенденция постоянного уточнения таких решений до получения приемлемого уровня точности. Разумеется, выполнить это оказывается намного более сложно, чем продекларировать свое намерение. В качестве примера можно привести стремление специалистов аналитически описать работу воронки бункера или хотя бы ее оребренной стенки как целостного элемента в виде каких-либо замкнутых выражений.

Вторым наиболее распространенным способом учета взаимного влияния отдельных элементов в конструкции друг на друга является введение в собственные расчетные схемы каждого из этих элементов различного рода поправочных коэффициентов. Их величина назначается либо на основе проведения полномасштабных экспериментальных исследований, имеющих целью выяснение реальной картины работы конструкции, либо принимается «по аналогии» с похожими проектными случаями. Достаточно ярким и простым примером такого подхода является рекомендуемый действующими СНиП по проектированию различных конструкций применение коэффициентов условий работы элементов. Их величина как раз зависит от вида элемента и типа конструкции, в которую он помещается.

И, наконец, третьим путем разрешения проблемы учета пространственной работы конструкции при ее расчете явилось использование численных методов строительной механики и вычислительной математики. До середины прошлого века, все они находились в тени цветущей в то время теории упругости и ее сестер, и считались практически бесперспективными. Однако именно численные методы оказались наиболее приспособленными к расчету современных строительных сооружений, и именно им суждено было занять на рубеже нового тысячелетия ведущее место в их проектировании.

Основной причиной этого, на наш взгляд, явился своеобразный дуализм численных методов. С одной стороны, основу их составляет аналитический подход, предполагающий расчленение в различных формах анализируемой непрерывной континуальной области на отдельные подобласти и получение внутри каждой из них разрешающих аппроксимирующих зависимостей. С другой стороны, эти подобласти считаются не изолированными друг от друга, а контактирующими между собой в определенных точках или участках по границе, что описывается специальными дополнительными соотношениями. В этом ясно прослеживаются идеи синтетического подхода. Интересно также, что увеличение количества таких подобластей позволяет получать качественно более высокий уровень точности конечного решения. Это не является правилом, но проявление известного диалектического закона перехода количества в качество определенно прослеживается. Огромное значение имеет и то обстоятельство, что подход к идеям расчленения (декомпозиции) ведется, во многом, с фундаментальных позиций механики – с позиций вариационного исчисления, обоснованность и обобщенность которого явилась надежной теоретической основой численных методов.

Таким образом, численные методы, вообще говоря, занимают промежуточное положение между строгими аналитическими и случайными экспериментальными методами, вобрав при этом в себя основные достоинства их обоих. Не случайно в последние годы, говоря о проведении численного расчета на компьютере, специалисты используют выражение «вычислительный эксперимент», довольно точно передающий смысл и особенности этого процесса. С другой стороны, именно это обстоятельство порождает и основной недостаток таких методов – приближенность конечных решений. Причем, получаемая точность является, как бы, персональной характеристикой метода и в каждом конкретном случае обуславливается его индивидуальными особенностями дискретизации и внутренней аппроксимации решений. Случается, что точность результатов вообще напрямую зависит от расчетчика, т. е. от того, «с какой стороны» начинают их поиск.

Формы декомпозиции, используемые в практике расчетов, исключительно разнообразны. Соответственно и количество разработанных численных методов к настоящему времени поистине огромно: метод малого параметра, метод В. Ритца (W. Ritz), обобщенный метод И.Г. Бубнова – Б.Г. Галеркина, метод Л.С. Лейбензона, метод Л.В. Канторовича – В.З. Власова, метод М.Г. Слободянского, метод Е. Треффца (E. Trefftz), метод сеток, метод коллокаций, метод наименьших квадратов, метод конечных элементов (МКЭ)...

Несмотря на все достоинства численных методов, из всех них в настоящее время в промышленных масштабах применяется только один метод - Метод Конечных Элементов. Ему удалось не только выжить в суровой конкурентной борьбе с другими методами, но и завоевать в настоящее время исключительную популярность. Именно он реализован в десятках программных разработках для современных компьютеров; именно на его основе ведется проектирование и создание различных конструкций и не только строительного плана; именно с его помощью проводят массу исследований и уточнений характера работы как уже хорошо известных видов сооружений, так и не имеющих пока аналогов, на действие статических, динамических, температурных нагрузок, выяснения ресурса их работы; именно ему посвящено огромнейшее количество публикаций, монографий, учебников, пособий и диссертаций; и наконец, именно МКЭ применяют для прогнозирования поведения не только элементов из стали, железобетона, дерева или пластиков, но и грунтовых массивов, движения газов, фильтрации и течения жидкостей и даже изучения процессов g-излучения. В чем же заключается секрет такого успеха?

В значительной степени это связано с прекрасной приспособленностью МКЭ к реализации на компьютерах, захвативших сейчас бесспорное лидерство среди средств, способствующих человеческому творчеству. Все его внутренние зависимости и соотношения могут быть легко представлены в матричном виде, а значит, машинные операции с ними оказываются крайне несложными. Однако, лишь только это вряд ли бы воздвигло МКЭ на тот пьедестал, который он сейчас, нужно сказать, занимает по праву.

МКЭ обладает рядом свойств, дающих возможность достаточно всесторонне, точно и компактно отразить в расчетной модели различные свойства реальных объектов и условия их работы. Применение его позволяет естественно формировать граничные условия и условия нагружения рассчитываемой конструкции, рассматривать сооружения нерегулярной геометрической структуры, континуальные системы и системы, составленные из объемных элементов, решать как статические, температурные и динамические задачи, так и задачи устойчивости, причем всех их в нелинейной постановке. Наиболее важным при этом является высочайшая индифферентность метода в отношении перечисленных факторов, тогда как во многих других численных методах имеет место их существенное влияние на трудоемкость расчета в целом. Кроме этого, МКЭ при правильном применении обеспечивает достаточно высокую точность решения, что немаловажно с практической стороны, допускает простую и удобную механическую интерпретацию, а также обладает высокой наглядностью и простотой представления конечных результатов.

В математическом отношении вариационная природа МКЭ обеспечивает ему более широкие теоремы существования, чем для иных численных методов, что позволяет конструировать решение при помощи не совсем гладких, но, что важно, локализованных функций, составляющих основу метода. С другой стороны, сеточный характер МКЭ способствует тому, что разрешающие системы алгебраических уравнений оказываются хорошо обусловленными с редко заполненными, легко формируемыми матрицами.

Такими свойствами не обладает ни один другой численный метод. И даже родные братья МКЭ – метод конечных разностей (МКР), метод суперэлементов (МСЭ) и метод граничных элементов (МГЭ) – намного проигрывают ему по ряду показателей. К тому же, если ранее распространение МКЭ сдерживалось мощностью и объемом доступной памяти существующих компьютеров (в то время – ЭВМ), поскольку при расчете формируются большие массивы промежуточной и выходной информации, то в настоящее время это ушло в прошлое. Характеристики современных компьютеров выросли до таких значений, что размерность задачи перестала быть определяющим фактором. Так, например, раньше достижением была возможность решения задачи с числом степеней свободы (неизвестных в уравнениях МКЭ) около 100 000, что сейчас является, в принципе, рядовым расчетом, занимающим 5 - 10 мин. Ну а потолком расчета, известным в настоящее время, является моделирование в 1998г. фирмой «Adapco» термо-гидро-газодинамически-прочностного поведения атомного реактора. Задача включала 350 млн. степеней свободы и решалась в течение 55 часов…

 

Для описания напряженно-деформированного состояния внутри конечного элемента выбираются определенные аппроксимирующие функции, вид которых задается с точностью до постоянных коэффициентов. Это один из наиболее существенных моментов, определяющих в дальнейшем эффективность самих элементов. Чаще всего в роли таких функций принимают полиномы невысокого порядка. Закон их распределения внутри каждого конечного элемента предполагается известным, если известны перемещения его узлов. Характер этих зависимостей определяет сущность каждого конечного элемента, формируя его математическую модель. В свою очередь она вместе с рядом других признаков – геометрическая форма, набор допустимых прикладываемых нагрузок, возможность использования в системах определенного типа и т. д. – определяет тип конечного элемента. Элементы различных типов образуют библиотеку конечных элементов в рамках конкретной вычислительной программы.

Таким образом, прикладывая внешние нагрузки или воздействия к конечным элементам, из которых сформирована виртуальная модель анализируемой конструкции, возможно, применяя вариационные принципы и используя соответствующие условия равновесия и непрерывности, определить возникающие при этом перемещения их узлов. Для этого необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений, порядок которой определяется суммарным числом степеней свободы всех узлов. Приближенно он равен общему количеству узлов в расчетной модели, умноженному на шесть возможных степеней свободы в узле, хотя это справедливо и не для всех типов конечных элементов. Затем на основе принятых внутренних аппроксимирующих зависимостей каждого конечного элемента определяют перемещения любой его точки, и далее, по известным зависимостям теории упругости – усилия и напряжения в этих точках. В целом, результирующее поле как напряжений, так и перемещений получается приближенным. При этом точно перемещения вычисляются в узлах конечных элементов, а напряжения – в их центрах тяжести.

Именно здесь кроется один из наиболее существенных подводных камней МКЭ – проблема его сходимости, оценки скорости сходимости и точности получаемых при этом конечных результатов.

Изложенная трактовка МКЭ справедлива только по отношению к наиболее распространенной его разновидности в форме метода перемещений классической строительной механики. Существующие разновидности в форме метода сил или комбинированной форме предполагают несколько иное содержание и применяются не так часто ввиду наличия ряда негативных специфических особенностей.

 

4.4. Сходимость метода конечных элементов

В теории МКЭ одно из основных мест занимает проблема сходимости, то есть возможность приближения к точному решению при неограниченном сгущении сетки конечных элементов.

К настоящему времени известны легко проверяемые условия, позволяющие судить о сходимости решения в каждом конкретном случае. Однако они позволяют лишь судить об этом, но не обеспечивать сходимость.

Никаких общих теоретических указаний на сей счет к настоящему времени сформулировать не удалось. Все имеющиеся рекомендации носят полуэмпирический асимптотический характер и, как правило, имеют слишком абстрактную форму, не пригодную для их практического применения.

Неопытные расчетчики довольно часто интуитивно полагают, что чем на более мелкие конечные элементы разбита исследуемая конструкция, то тем точнее окажется полученный результат. В действительности при этом, помимо возникающих сугубо вычислительных сложностей, связанных с увеличением времени решения задачи и запросов к машинной памяти, возможно проявление и ряда эффектов неустойчивости процесса решения и даже ощутимое снижение его точности за счет накапливаемых погрешностей вычислений. Поэтому, огромнейшее значение при использовании МКЭ для решения различных проектных задач приобретает опыт, по крупицам собираемый при рассмотрении множества конкретных частных расчетных случаев, а также квалификация и, в некотором роде, везение расчетчика.

 

Источником всех расчетных трудностей и ошибок являются в настоящее время одно важнейшее обстоятельство. При расчете по МКЭ, впрочем как и любым другим методом, создается модель. Это означает, что она подобна реальному прототипу лишь в конечном числе отношений, т. е. она конечна. Поэтому, обстоятельство конечности расчетной модели выливается в проблему достоверности получаемых с ее помощью результатов. Именно степень приближения модели к реальной конструкции как раз и является тем определяющим моментом, от которого, в конечном счете, зависит весь успех расчета. Применительно к расчетам с использованием МКЭ данная проблема имеет следующие аспекты.

Во-первых, это верный отбор тех элементов анализируемой конструкции, которые войдут в расчетную модель. Таким образом обеспечивается адекватность создаваемой модели реальной конструкции, т. е. то, насколько верно и полно созданная расчетная модель будет описывать физические процессы деформирования под действием приложенных нагрузок в реальной конструкции. Ведь вполне возможно выполнить расчеты и получить конкретные результаты, но, так сказать, «не для того случая», когда нарушено необходимое соответствие между моделируемым объектом и его расчетной моделью.

Указанная задача касается не только чисто физической стороны конструкции, т. е. того, какие именно части анализируемого сооружения нужно смоделировать, а какие возможно отбросить. Она касается и таких вопросов, как, например, «А какие нагрузки и воздействия следует учитывать?» или, «А в каких местах и каким образом следует закрепить модель, чтобы максимально точно передать соответствие реальным опорам конструкции?» и пр.

Огромнейшую роль при решении таких вопросов играет существо рассматриваемой задачи и понимание инженером характера работы моделируемой конструкции. В первую очередь, это касается цели самого расчета. В одних случаях инженера интересует общее напряженное состояние сооружения, т. е. работа его отдельных элементов и узлов только на качественном уровне. Тогда возможно смоделировать лишь его несущие, на первый взгляд, части, уточнив их роль в ходе дальнейшего анализа. В других случаях, первостепенное значение могут приобретать местные напряжения в какой-то локальной области конструкции. При этом вообще представляется возможным смоделировать только эту конкретную часть сооружения, но смоделировать достаточно точно и подробно. В случае динамического расчета важным может оказаться учет различного рода ненесущих элементов конструкции, как например, перегородок, местных утолщений и пр. При анализе устойчивости принципиальное значение имеет верное описание характера приложения нагрузки и отслеживание возможных его изменений в ходе деформирования элементов.

Основной опасностью в подобных случаях является попытка создания одной «универсальной» расчетной модели, по которой возможно было бы анализировать исследуемую конструкцию на самые различные режимы ее работы. Это в принципе является неверным, поскольку само применение модели предполагает ее целевую ориентацию. Да, конечно вряд ли оправдано создание серии моделей, когда анализируются несколько случаев, скажем, вертикального статического нагружения при неизменных условиях опирания конструкции. Однако, как только речь здесь заходит о динамических загружениях или об анализе устойчивости, или даже о приложении горизонтальных статических нагрузок, то корректность используемой модели должна быть поставлена под сомнение и тщательным образом проанализирована.

Вторым важнейшим аспектом, определяющим достоверность конечных результатов расчета с применением МКЭ, является точность математической модели, описывающей созданную расчетную модель. При этом подразумевается точность тех зависимостей, на основе которых выполняется анализ, так сказать, уже внутри созданной виртуальной модели. Здесь следует различать те исходные допущения, которые принимаются при решении конкретных классов задач, и те упрощения, которые реализуются внутри самого метода.

К первым из них относятся довольно общие гипотезы строительной механики – предположение о выполнимости закона Гука при рассмотрении поведения конструкции без учета пластических деформаций, между тем как для реальных материалов это не совсем и не всегда оказывается справедливым, или, например, предположение о сплошности и однородности рассматриваемой деформируемой среды, а в случае ортотропии – реализация ее не на физическом уровне, а заданием ряда обобщенных характеристик деформативности, различных по различным направлениям.

Во втором случае проблема дробится на ряд еще более мелких вопросов, как то, выбор аппроксимационных зависимостей внутри конечных элементов, вопросы их совместности, учет граничных условий и т. п. Каждый из них представляет собой отдельную серьезную исследовательскую задачу, по которой имеется достаточно обширная специальная литература.

Для инженера-расчетчика в этом отношении важными являются вопросы о выборе сетки конечных элементов, нумерации узлов и элементов, задании способа решения систем уравнений, установлении приемлемого уровня точности при этом. Решение их во многом диктуется условиями конкретной задачи, а также накопленным опытом расчетчика. Незначительное изменение какого-либо из этих параметров может в иных случаях приводить к довольно ощутимым скачкам в точности конечных результатов.

 

4.5. Дискретизация модели

Большое значение в создании расчетной модели при расчете по МКЭ имеет вопрос о дискретизации, т.е. разбивке на конечные элементы. К сожалению, в настоящее время не существует каких-либо универсальных теоретических разработок касательно выбора конечно-элементной сетки. Все рекомендации сводятся, во многом, к полуформальным закономерностям, которые также бывает сложно применить в какой-либо конкретной ситуации. На их основе, в свою очередь, разработаны некоторые полуэмпирические рекомендации, которые также, хотя и носят довольно общий характер, но уже могут быть практически применены.

Наиболее важные из них следующие:

1. Для стержневых конечных элементов имеются точные аппроксимирующие решения, точно описывающие поле перемещений. При этом длина стержневого конечного элемента может быть любой, что никак не сказывается на точности решения. Однако, это верно лишь для статической линейной задачи при постоянной жесткости по длине стержня. Во всех остальных случаях исходный конструкционный стержень необходимо разбивать на более мелкие стержни – стержневые конечные элементы. При этом необходимые проверки (по СНиП на устойчивость и др.) следует выполнять для конструкционного стержня, а не для каждого конечного элемента.

2. Для континуальных систем имеется огромное количество работ, регламентирующих оценку сходимости для конкретного конечного элемента или их сочетаний (плита, оболочка, вплоть до конкретного вида конструкций). В настоящее время существует лишь общее правило дискретизации на конечные элементы: для получения инженерной точности решения 5% нужно выбрать шаг сетки равным примерно 1/20 от характерного размера.

Это положение выведено на основе некоторых наихудших предположений о сходимости. Поэтому, на практике приемлемая точность решения может быть получена на более крупной сетке конечных элементов. Для ответа на вопрос «какой?» используется прием последовательного сгущения сетки. Опыт показывает, что во многих случаях достаточным является принимать размер конечного элемента в пределах 1/10 – 1/8 характерного размера, а в некоторых случаях и еще крупнее. При этом внимание следует обращать на устойчивость решения, что является необходимым, но все-таки, недостаточным условием правильности решения. Оценку сходимости следует выполнять не только по перемещениям (они имеют наилучшую сходимость), но и по внутренним усилиям и напряжениям.

3. При решении задач устойчивости достаточным может считаться принять размер конечного элемента из такого расчета, чтобы в полуволну формы изгиба при потере устойчивости попадало 3 – 4 элемента.

4. При решении динамических задач считается, что надежно может быть вычислено то количество первых собственных частот системы и соответствующих им форм колебаний, которое равно примерно половине количества динамических степеней свободы системы. В большинстве случаев каждый узел сетки конечных элементов добавляет одну динамическую степень свободы. Поэтому, если например, требуется вычислить 30 первых частот для какой-либо конструкции, то она должна быть разбита на сетку конечных элементов, содержащую не менее 60 узлов. При этом вполне уместным оказывается применение правила п. 3 с прочтением его относительно полуволны формы колебаний.

5. Одним из основных принципов дискретизации является сгущение сетки конечных элементов в зоне выявленных концентраторов напряжений. Это же относится и к местам приложения сосредоточенной нагрузки, постановки жестких связей (особенно запрещения угловых перемещений), вокруг отверстий, вырезов, углов и т.д.

К специальным приемам относится и подбор густоты сетки, исходя получаемого в ходе анализа градиента напряжений. В современных программных комплексах очень часто эта операция выполняется автоматически по мере расчета. Основное внимание при этом должно быть обращено на гладкость конечно-элементной сетки (постепенное изменение размеров элементов).

6. Если в используемой программе отсутствует возможность сглаживания, то выполняя его вручную (Рис.7 ), рекомендуется переходную зону поделить на так называемые «фронты сгущения», располагаемые не чаще, чем через 2 – 3 ряда конечных элементов.

 

Рис.7. Приемы сгущения сетки четырехугольными элементами.

 

На одном таком «фронте» шаг сетки следует уменьшать не более, чем в два раза (Рис.8).

 

Рис.8. Переходная зона от одной густоты сетки к другой:

1 – сетка исходной густоты, 2 – I «фронт сгущения», 3 – II «фронт сгущения»,
4 – сетка требуемой густоты (в 4 раза мельче), 5 – границы «фронтов сгущения»

 

7. Форма континуальных конечных элементов должна максимально быть приближенной к правильной (квадрат, куб, тетраэдр). При этом достигается наибольшая точность результатов. В различных конечных элементах соотношение сторон может варьироваться примерно до 1:4 – 1:5 без потери точности решения. Однако, это справедливо отнюдь не для всех типов конечных элементов и применимо только в областях с небольшим градиентом деформаций.

8. Следует максимально избегать, так называемой, «игольчатой» формы конечных элементов, представляющей собой четырехугольник с большим соотношением сторон (порядка 1:10) или треугольный конечный элемент с одним из углов порядка 1 - 10°. Их применение серьезно искажает конечные результаты, приводя к существенной потере точности решения в рассматриваемой области.

9. Имеются конечные элементы, заведомо дающие плохую точность - треугольные конечные элементы с линейной аппроксимацией. Их математическая модель построена таким образом, что по всему элементу получаются постоянные значения напряжений (наблюдается, так называемое, кусочно-постоянное поле напряжений). Это вносит определенную погрешность в картину распределения напряжений в анализируемой области. Степень такой погрешности будет находиться в обратной зависимости от размеров элементов и их количества в этой области. Сгущение сетки конечных элементов, как правило, также лучше выполнять без использования треугольных элементов, например, по схеме, приведенной на рис. 8. Поэтому есть тенденция избегать применения треугольных и пирамидальных элементов, и создавать сетки из четырехугольных элементов и из объемных гексаэдров («кирпичей»), так как они обычно дают более точное решение по сравнению с треугольными и пирамидальными элементами.

Эти правила являются достаточно простыми, легко запоминающимися и в то же время универсальными. Их справедливость подтверждается огромным количеством самых разнообразных источников.