Анализ размерностей и теория подобия. Критерии подобия.
Основная трудность, возникающая при экспериментальном исследовании конвективного теплообмена, заключается в том, что коэффициент теплоотдачи зависит от многих параметров. Например, средний по поверхности коэффициент теплоотдачи от продольно омываемой пластины (см. рис. 5.2) зависит от длины пластины l, скорости набегающего потока wж и теплофизических параметров жидкости:
a = f1(l, wж, l, c, r, n) (5.12)
Размерности: Вт/( м2∙К); м; м/c; Вт/(м∙К); Дж/(кг∙К); кг/м3; м2/c.
Если проводить опыты, изменяя m раз каждый из 6 параметров, влияющих на теплообмен, то суммарное число опытов будет N = m6, т. е. порядка 106.
Теория показывает, что число параметров зависит от выбора единиц измерения. Наименьшее число параметров получится, если единицы измерения будут связаны с самой решаемой задачей. Так, в качестве единицы длины можно принять не метр, а длину пластины l. Для перевода всех параметров в «новую» систему единиц измерения поделим их на l в той же степени, в которой длина входит в их размерность:
a l2 = f2 (l/l, wж/ l, ll, c, rl3, n/ l2) (5.13)
Размерности: Вт/К; -; 1/c; Вт/К; Вт∙с/(кг∙К); кг; 1/c.
Число параметров в правой части уравнения уменьшилось, так как l/l = l, т. е., мы избавились от того параметра, который приняли за единицу измерения. Если теперь ввести еще три «новых» единицы измерения: для времени l2/n, для массы r∙l3 и, наконец, для отношения тепловой мощности к перепаду температур l∙l (в рассматриваемой системе величин единицы Вт и К раздельно не встречаются, а входят лишь в комбинации Вт/К), то в правой части рассматриваемой зависимости останется всего два безразмерных параметра:
a∙l/l = f3 ( wжl / n, crn/ l) (5.14)
Такие же безразмерные параметры получаются и при анализе теплоотдачи от поверхности трубы, но определяющим размером в них будет не длина l, а диаметр d, соответственно внутренний - при течении жидкости внутри трубы и наружный - при наружном обтекании трубы.
Согласно основной теореме метода анализа размерностей (p-теореме) зависимость между N размерными величинами, определяющими данный процесс, может быть представлена в виде зависимости между составленными из них (N – К) безразмерными величинами, где К — число первичных переменных с независимыми размерностями, которые не могут быть получены друг из друга. В уравнении (5.12) общее число переменных (включая a) равно 7, из них четыре первичных (их мы принимали за единицы измерения); соответственно безразмерных чисел в уравнении (5.14) N - К = 7 - 4 = 3.
Каждый из безразмерных параметров имеет определенный физический смысл. Их принято обозначать первыми буквами фамилий ученых, внесших существенный вклад в изучение процессов теплопереноса и гидродинамики.
Число Нуссельта (1887-1957 гг.):
Nu = a l/l представляет собой безразмерный коэффициент теплоотдачи.
Число Рейнольдса (1842—1912):
Re = wж l / n выражает отношение сил инерции (скоростного напора) Fи = r∙wж2/2 к силам вязкого трения Fm ~ m∙wж/l.
Безразмерные комплексы обычно не являются точным отношением каких-то сил, а лишь качественно характеризуют их соотношение. В данном случае сила вязкого трения между соседними слоями движущейся в пограничном слое жидкости, действующая на единичную площадку, параллельную плоскости y = 0, равна по закону Ньютона Fm= m (∂w/∂y). Заменяя производную отношением конечных разностей (∂w/∂y) » wж/dг, получим Fm » m∙wж/dг , где dг — толщина гидродинамического пограничного слоя. Принимая во внимание, что dг ~ l, получаем выражение Fm » m∙wж/l .
При малых числах Re преобладают силы вязкости и режим течения жидкости ламинарный. При турбулентном течении в потоке преобладают силы инерции, поэтому завихрения интенсивно развиваются. При продольном обтекании пластины ламинарное течение в пограничном слое нарушается на расстоянии хкр от лобовой точки, на котором Reкp = wж·хкр/n » 5·105.
При течении жидкостей в трубах (см. рис. 5.3) ламинарный режим на стабилизированном участке наблюдается до Reкp= w∙d/ n = 2300, а при Re > 104 устанавливается турбулентный режим (здесь d — внутренний диаметр трубы).
Число Прандтля (1875—1953):
Pr = crn/l состоит из величин, характеризующих теплофизические свойства вещества и по существу само является теплофизической константой вещества.
В случае естественной конвекции скорость жидкости вдали от поверхности wж = 0 и соответственно Re = 0, но на теплоотдачу будет влиять подъемная сила Fп. Это приведет к появлению другого безразмерного параметра - числа Грасгофа:
Gr = g∙b (tc - tж) ∙l3/n2. Оно характеризует отношение подъемной силы, возникающей вследствие теплового расширения жидкости, к силам вязкости.
При исследовании локального теплообмена кроме безразмерных чисел в уравнения войдут безразмерные координаты, представляющие собой отношение обычных координат к определяющему размеру. Для продольно омываемой пластины это будет Х = х/ l.
Сложность метода анализа размерностей заключается в необходимости знания всех параметров, влияющих на искомую величину. Для неисследованных процессов эти параметры находят, проводя предварительные эксперименты. Если же процесс уже описан математически, хотя бы на уровне дифференциальных уравнений, то в эти уравнения, в граничные и начальные условия к ним, входят все влияющие на процесс параметры. Приводя к безразмерному виду математическое описание процесса, получают те же самые безразмерные числа. Этим занимается теория подобия. И, наконец, если даже задача решена аналитически, то и в этом случае для удобства анализа решение часто приводят к безразмерному виду. Например, построить графическую зависимость теплового потока через цилиндрическую стенку от всех параметров очень сложно, а зависимость в безразмерной форме Q/[ll(tc1 - tc2)] = f (d2/d1) выразится с помощью единственной линии. Причем, если бы не было аналитического решения, мы могли бы эту линию построить на основании результатов экспериментов, а затем подобрать вид функции. Не исключено, что мы бы угадали логарифмическую зависимость, но при небольшом интервале изменения параметров ее легко спутать с линейной, тем более, что опытные точки сами отклоняются от точной кривой из-за погрешности измерений. Никогда нет полной уверенности, что подобранная эмпирическая зависимость точно соответствует неизвестному реальному закону, поэтому область ее применения всегда ограничивается теми интервалами изменения безразмерных параметров, в которых проведен эксперимент.