Волновой пакет. Групповая скорость волн

 

Основываясь на принципе суперпозиции волн, можно заменить любую несинусоидальную волну в линейной среде эквивалентной ей системой синусоидальных волн, т.е. представить в виде группы волн или волнового пакета. Совокупность значений частот этих синусоидальных волн называется спектром частот (или просто спектром) рассматриваемой несинусоидальной волны. В зависимости от характера колебаний, возбуждаемых волной, спектр частот последней может быть дискретным или непрерывным.

Закономерность распространения в линейной среде произвольного возмущения (сигнала), представляющего собой несинусоидальную волну, проста только при условии, что среда недиспергирующая, т.е. фазовая скорость волн не зависит от их частоты. В этом случае сигнал перемещается в среде, не изменяясь, так как все синусоидальные волны, образующие эту группу, имеют одинаковые фазовые скорости, равные скорости сигнала.

В диспергирующей среде синусоидальные составляющие группы волн распространяются с разными скоростями. Поэтому группа волн по мере распространения расплывается, форма сигнала изменяется.

Простейшей группой волн является квазисинусоидальная плоская волна, получающаяся в результате наложения двух распространяющихся вдоль оси х плоских волн с одинаковыми амплитудами и близкими по значению частотами и волновыми числами:

;

.

Тогда отклонение частицы среды в точке с координатой х в момент времени t

. (4.89)

Зависимость S(x) в некоторый момент времени t показана на рисунке 4.16.

 

Эта волна отличается от синусоидальной тем, что ее амплитуда – медленно изменяющаяся функция координаты х и времени t

. (4.90)

За скорость распространения этой несинусоидальной волны принимают скорость u точки, в которой амплитуда А имеет какое-либо фиксированное значение. Координата этой точки должна удовлетворять условию

.

Дифференцируя это соотношение, получим для скорости u выражение

,

которое в пределе бесконечно малых изменений величин переходит в

. (4.91)

Величина u называется групповой скоростью. Она равна скорости переноса энергии квазисинусоидальной волной. Групповая скорость (4.91) пригодна для описания переноса энергии (передачи сигнала) посредством несинусоидальных волн, имеющих другой спектр частот, при условии, что спектр не очень широк, а дисперсия волн в среде для этих частот мала.

Связь между групповой и фазовой скоростями волны можно найти из формулы (4.91) при учете соотношений для k (4.56):

, (4.92)

где λ – длина волны.