Понятие о функции распределения

 

Давайте теперь уточним задачу. А что мы понимаем под словами “распределение молекул по скоростям”? Очевидно, что мы не сможем точно указать, какие молекулы обладают теми или иными скоростями. Наверное, мы можем говорить об этом только с какой-то долей вероятности. Значит, давайте вначале поговорим о вероятностях. Поставим перед собой вопрос – сколько же молекул имеют скорости, лежащие в интервале от v до v+dv? Очевидно, что число таких молекул пропорционально общему числу молекул N в рассматриваемом объёме, величине интервала dv и будет некоторой функцией . Таким образом, искомое число может быть записано как

 

. (7.1)

 

Здесь – функция распределения молекул по скоростям. Для выяснения физического смысла функции распределения, вспомним, что есть, очевидно, вероятность того, что молекулы имеют скорость в интервале от v до v+dv. Тогда функция будет называться плотностью вероятности, и это есть искомая функция распределения молекул по скоростям v. С помощью функции распределения можно определять любые средние характеристики для всего ансамбля молекул. Действительно, если нам нужно определить среднее значение некоторой величины а, зависящей от скорости (например, импульса), то для этого надо просто вычислить интеграл:

 

. (7.2)

 

В самом деле,

 

. (7.3)

 

Последнее выражение в выражении (7.3) есть не что иное, как определение средней величины. И ещё, нам понадобится условие нормировки функции распределения. Из выражения (7.1) следует, что

 

, или . (7.4)

 

Говорят, что функция распределения нормирована на единицу. И это неудивительно, поскольку функция распределения, по определению, есть плотность вероятности. А вероятность достоверного события –найти частицу с определённой скоростью во всём интервале скоростей, равна 1.