Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

 

Рассмотрим идеальный одноатомный газ и попытаемся определить давление, которое оказывает этот газ на стенки сосуда с идеально отражающими стенками (рис. 6.2).

 

 

Рисунок 6.2 – Ёмкость с идеально отражающими стенками

 

То есть будем считать, что удары молекул о стенки – абсолютно упругие. Предположим также, что все молекулы движутся вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент времени вдоль каждого направления движется 1/3 от общего числа всех молекул, причём половина из этого числа (т.е. 1/6) движется по направлению к стенке, а вторая половина – от стенки. За время Dt площадки DS достигнут только те молекулы, которые находятся в прямом цилиндре объёмом V = DSvDt. Число таких молекул будет равно NV = (1/6) n D SvDt. Каждая молекула при ударе о стенку передаст ей импульс DK1 = m0v – ( – m0v)=2m0v. Общий импульс DК, переданный площадке DS за время Dt, будет равен произведению DK1– импульса, полученного при ударе одной молекулы, на число ударов молекул о стенку. Это число ударов равно NV – числу молекул, достигших площадки DS за время Dt. Следовательно,

 

.

 

Импульс, передаваемый стенке за единицу времени, согласно второму закону Ньютона, равен силе, действующей на эту площадку:

 

. (6.7)

 

После деления выражения (6.7) на площадь DS получим давление, которое оказывает газ на стенки сосуда:

 

(6.8)

 

Полученное выражение (6.8) требует уточнения. В реальном газе молекулы движутся во всевозможных направлениях и с различными величинами скоростей. Эту разницу мы учтем, если в формулу (6.8) подставим среднее значение квадрата скорости:

 

. (6.9)

 

Введенную соотношением (6.9) скорость принято называть средней квадратичной скоростью. С учётом выражения (6.9) выражение для давления (6.8) примет вид

 

. (6.10)

 

Выражение (6.10) называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории газов. Это уравнение связывает макроскопический параметр – давление газа Р – с характеристиками молекул. Отметим, что точный расчёт с учётом всевозможных направлений движения молекул также даёт ту же самую формулу.