Средние величины

Средняя величина представляет собой обобщенную характеристику совокупности однородных явлений по какому-либо одному количественно варьируемому признаку.

Средние величины играют важную роль, в статистике. С их помощью можно сравнивать различные совокупности значимых явлений по некоторому количественному признаку и делать из этого сравнения необходимые выводы. Одно из важнейших условий расчета средних величин – это качественная однородность единиц совокупности в отношении осредняемого признака.

На практике чаше всего применяют групповые средние, то есть сред­ние, рассчитанные на основе статистических группировок. Средние вели­чины основываются на массовом обобщении фактов. Только при этом ус­ловии они способны обнаружить те или иные тенденции изучаемых явлений и процессов. Вычисление средних величин производится, на основе вариационных рядов.

Различают несколько видов средних величин: среднюю квадратическую, среднюю арифметическую, среднюю геометрическую, среднюю гармоническую, среднюю хронологическую. Исчисляются как простые, так и взвешенные средние. Формулы средних (кроме хронологической) получаются из общей формулы степенной средней.

Пусть имеем некоторый количественный показатель X. В результате наблюдения зафиксированы следующие его значения (варианты): х₁, х₂, …, х_n.

Общая формула степенной средней имеет вид:

где m – целое число.

Если среди наблюдаемых значений х₁, х₂, …, х_n встречаются одинако­вые, то приведенную выше формулу можно записать несколько иначе.

Пусть значение х₁ наблюдалось n₁ раз, х₂ n₂ раз, ... , х_k – n_k раз._. При этом, очевидно, n₁ + п₂ + ...+ п_к = n_. Тогда общая формула степенной средней может быть записала так:

 

Частоты n_i называют еще весами средней, а сама эта средняя называ­ется взвешенной степенней средней.

Простая, и взвешенная средние по сути определяются по одной и той же формуле. Только для взвешенной средней суммирование одинаковых по значениию величин заменяется умножением значения величины на чис­ло раз сколько она встречалась.

Если m=2, то получаем среднюю квадратическую; если m= 1, то приходим к средней арифметической; при m=0 получаем среднюю гео­метрическую; при т=-1 имеем среднюю гармоническую.

Заметим, что все формулы степенных средних, за исключением сред­ней геометрической, легко получаются из общей формулы степенной средней.

Для ввода формулы средней геометрической следует вычислить предел:

Его несложно найти, проведя логарифмирование и используя правило Лопиталя.

Чем меньше значение т, тем меньше величина соответствующей средней при одних и тех же значениях х₁, х₂, …, х_n. Это свойство мажорантности средних:

Выбор вида средней определяется путем конкретного анализа изучае­мой совокупности, исходя из принципа осмысленности результатов при суммировании и при взвешивании. Только тогда средняя применена пра­вильно, когда она имеет реальный смысл.

В статистике самое широкое применение находит средняя арифметическая.

Средняя геометрическая используется при вычислений среднегодовых темпов прироста исследуемых показателей.

Средняя квадратическая играет важную роль при изменении связей между изучаемыми явлениями и их причинами.

Средняя гармоническая вычисляется в тех случаях, когда средняя предназначается для расчета сумм слагаемых, обратно пропорциональных величине заданного признака, то есть когда суммированию подлежат не сами варианты, а обратные им величины.

В тех случаях, когда значения показателя x_i известны в конкретные моменты времени t_i, используют среднюю хронологическую.

В табл. 1.6 приведены формулы различных видов средних величин..

Кроме средних, приведенных выше, для характеристики среднего значения варианты в вариационном ряду могут быть взяты не расчетные, а описательные средние: мода и медиана.

Мода (Мо) - наиболее часто встречающаяся варианта в вариационном ряду, то есть варианта, которой соответствует наибольшая частота.

Медиана (Me) - значение варианты, находящейся в середине вариа­ционного ряда.

Таблица 1.6.

Формулы для различных видов средних величин

 

№ п/п	Наименование средней	Формулы средних
простой	взвешенной
1.	Средняя арифметическая
2.	Средняя геометрическая
3.	Средняя гармоническая
4.	Средняя квадратическая
5.	Средняя хронологическая

 

Определение моды и медианы в случае интервальных рядов распреде­ления несколько сложнее.

В интервальном ряду наибольшая частота указывает не на модальную варианту, а на содержащий моду интервал. Поэтому в модальном интервале необходимо определить модальную варианту. При этом надо иметь в виду, что при расчетах будет получено не точное, а некоторое условное значение моды, так как неизвестен характер распределения частоты внут­ри модального интервала.

Вычисление моды производится по следующей формуле:

 

где x_Mo – начало (нижняя граница) модального интервала;

h – величина интервала;

n_Mo – частота модального интервала;

n_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

n_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

 

Расчет медианы для интервального ряда производится по формуле:

где x_Mе – начало (нижняя граница) медианного интервала;

h – величина интервала;

n_Mе – частота медианного интервала;

n_Mе-1 – накопленная частота вариант, предшествующих медианному интервалу;

n – сумма частот всех вариант в вариационном ряду.

Мода и медиана характеризуют структуру распределения, поэтому их называют структурными позиционными средними.