Большие перемещения гибкого стержня

Определение критической нагрузки позволяет установить только предельное значение сжимающей нагрузки, при которой возникают неограниченные перемещения стержня. В ряде случаев представляет интерес поведение гибкого стержня в области больших перемещений, предполагая, что материал полностью следует закону Гука.

 

Рисунок 6.12

Рассмотрим поведение шарнирно закрепленного гибкого стержня сжатого продольной силой P (рис. 6.12), т.е. решим ту же задачу устойчивости, но без предположения о малости деформаций.

Для случая симметричного изгиба уравнение упругой линии можно записать в виде:

, или

(1)

Из рисунка видно, что ds = ρ dθ, откуда кривизна . Так как φ = θ, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами, то кривизна . Подставим выражение кривизны в уравнение упругой линии (1), и после преобразований уравнение примет вид:

, (2)

где

Дифференцируя уравнение (2) по s, получим:

(3)

Из рисунка 6.12 можно заметить, что . Следовательно, уравнение упругой линии (3) принимает вид:

 

Умножим обе части уравнения на dφ и заметим, что , после интегрирования, получим:

, или

 

При шарнирном закреплении стержня в начале координат (при s=0) угол поворота φ=φ₀, а изгибающий момент равен нулю , откуда кривизна тоже равна нулю . Удовлетворим граничным условиям, получим константу: C = ‑α² cosφ₀.

Следовательно, уравнение упругой линии принимает вид:

 

Подставим и , получим:

(4)

Введем новую переменную:

, (5)

где

Тогда уравнение (4) принимает вид:

(6)

Продифференцируем по s выражение (5) и после преобразований получим:

(7)

Приравняем правые части (6) и (7), и после преобразований получим:

(8)

Длина стержня в деформированном состоянии:

 

Интеграл носит название эллиптического интеграла первого рода. Для них существуют таблицы, в которых приводятся значения интегралов в зависимости от параметра p.

Длина стержня в деформированном состоянии окончательно принимает вид:

(9)

Определим прогиб стержня. Из рисунка 6.12 видно, что:

dy=ds sinφ (10)

Так как в соответствии с выражением (5):

, то

, (11)

После подстановки в (10) соотношений (8) и (11) и интегрирования, получим, что прогиб стержня определяется выражением:

 

Учитывая, что в середине стержня φ=ψ=0, тогда максимальный прогиб равен:

 

Введем безразмерные величины:

- силы ;

- прогиба .

Эти выражения дают возможность построить зависимость силы P от максимального прогиба y_max. Задаваясь величиной p, по таблицам находим значение эллиптического интеграла K и далее вычисляем y_max и P. Результаты вычислений приведены в таблице 6.1.

Таблица 6.1

p		0,087	0,173	0,259	0,342	0,423	0,5	0,574	0,643	0,707
K	1,571	1,574	1,583	1,598	1,62	1,649	1,686	1,731	1,787	1,854
ymax/l		0,055	0,11	0,162	0,211	0,257	0,297	0,331	0,36	0,381
P/PЭ		1,004	1,015	1,035	1,064	1,102	1,152	1,215	1,294	1,393

Зависимость относительной силы P/P_э от относительного максимального прогиба y_max/l приведена на рисунке 6.13.

 

Рисунок 6.13

Зависимость показывает, что при P>P_э возникают большие отклонения стержня от прямолинейного состояния, которые достигают y_max/l=0,4 по мере возрастания усилия. Таким образом, в закритической области поведение стержня может быть исследовано только при помощи уравнений, описывающих особенности больших перемещений. Что же касается определения критического усилия, то для этой цели пригодны линейные уравнения, составленные для малых прогибов.