Графоаналитический метод определения прогиба балки методом Верещагина

В 1925 г. А. Н. Верещагин предложил простой графоаналитический прием вычисления интеграла Мора в случаях, когда эпюра М_z´ (или М_z) ограничена прямыми линиями. При постоянной жесткости по длине балки EI_z для определения прогиба энергетическим методом необходимо вычислять интеграл вида:

.

Допустим, что эпюры изгибающих моментов аналитически выражаются функциями М_z=f₁(х), М^’_z´ = f₂(х), причем одна из них, например, f₁(х) произвольная, а другая f₂(х) линейная функция и может быть записана в виде f₂(х) = kх+b. Пусть графики этих функций имеют вид представленный на рис. 3.86.

 

Рисунок 3.86

В соответствии с принятыми обозначениями можно записать:

 

Первый интеграл представляет собой статический момент относительно оси x площади эпюры ограниченной кривой M_z, т.е.

, где

ω – площадь, ограниченная кривой M_z,

х_c - координата центра тяжести фигуры ограниченной кривой M_z относительно оси х.

Второй интеграл представляет собой площадь, ограниченную кривой M_z, которую обозначили ω.

Следовательно:

 

Итак,

 

Таким образом, искомый интеграл равен произведению площади эпюры M_z на расположенную под ее центром тяжести ординату эпюры М_z´. Важно отметить, что вычисление перемещения способом Верещагина возможно только в том случае, когда, во-первых, эпюры M_z и М_z´ на рассматриваемом участке не имеют изломов, во-вторых, одна из эпюр описывается линейной зависимостью и именно по ней определяется ордината под центром тяжести другой эпюры y_c. Поэтому при вычислении способом Верещагина интеграл Мора по всей длине балки надо заменить суммой интегралов по участкам, в пределах которых эпюра моментов от единичной нагрузки не имеет изломов. Тогда перемещение сечения балки δ:

 

Таким образом, для вычисления прогибов по способу Верещагина необходимо:

1) построить эпюру изгибающих моментов от заданных нагрузок M_z (основная эпюра);

2) снять внешнюю нагрузку (но сохранить опоры) и приложить в том сечении, в котором определяется перемещение (угол поворота) единичную силу (единичный момент) в направлении искомого .перемещения (угла поворота);

3) построить эпюру изгибающих моментов от единичной нагрузки М_z´(единичная эпюра);

4) разбить эпюры на участки, в пределах которых отсутствуют изломы эпюр, и для каждого участка вычислить площадь криволинейной эпюры ω_i и ординаты эпюр ограниченных линейной функцией под центрами тяжести криволинейных эпюр у_ci.

5) составить произведения ω_i у_ci и просуммировать:

 

Встречающиеся на практике эпюры изгибающих моментов разбивают на простейшие фигуры: прямоугольник, треугольник и параболический треугольник.

Площади этих фигур и координаты центров тяжести приведены в таблице 3.3.

Таблица 3.3

Вид эпюры Mz	Площадь w	Координата центра тяжести xc

Пример 3.16

Определить прогиб сечения A и угол поворота сечения В консольно закрепленной балки (рис. 3.87а). Жесткость EI_z по длине балки принять постоянной.

Решение.

Построим эпюры изгибающих моментов от заданных нагрузок M_z (рис. 3.87б), а затем от единичной силы M_z`, приложенной к концу консоли в сечении А (рис. 3.87д) и от единичной пары M<sub>z</sub>`, приложенной в сечении В (рис. 3.87ж).

 

Рисунок 3.87

Для определения прогиба точки А надо перемножить эпюры от заданной нагрузки M_z (рис.3.87б) и единичной силы M_z` (рис. 3.87д). Разобьем основную эпюру на параболический треугольник, прямоугольник и треугольник (трапецию разбиваем на прямоугольник и треугольник потому, что заранее неизвестно, где находится ее центр тяжести) и вычислим ω_i, а затем по эпюре от единичной силы найдем координаты y_ci.

В результате получим:

 

Определяя угол поворота сечения В, перемножаем эпюры от заданных нагрузок M_z (рис. 3.87б) и единичного момента M_z` (рис. 3.87ж) только на правом участке (на левом это произведение равно нулю). Обе эпюры на этом участке линейные, и поэтому безразлично, с какой из них брать площадь. Если площадь взять с эпюры от заданных нагрузок, то:

 

Если же площадь взять с единичной эпюры, то

 

Результаты перемножения, как и следовало, ожидать одинаковы. Знак минус показывает, что сечение В поворачивается в направлении, противоположном направлению единичного момента.