Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления степенного ряда (5) с основанием той системы, из кото­рой число переводится. Затем подсчитывается значение суммы.

Пример.

а) Переведите 10101101,101(2) в десятичную систему счис­ления:

10101101,101(2) = 1 * 27 + 0 * 26 + 1 * 25 + 0 * 24 + 1 * 23 + 1*22 + 0*21 + 1*20+ 1*2-1 + 0*2-2+ 1*2-3 = 173,625(10).

б) Переведите 703,04(8) в десятичную систему счисления: 703,04(8) = 7 * 82 + 0 * 81 + 3 * 80+ 0 * 8-1 + 4 * 8-2 = 451,0625(10).

в) Переведите В2Е,4(16) в десятичную систему счисления: В2Е,4(16) = 11 * 162 + 2 * 161 + 14 * 160 + 4 * 16-1 = 2862,25(10).

Перевод целых десятичных чисел в недесятичную сис­тему счисления осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное, меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего. Пример.

а) Переведите 181(10) в восьмеричную систему счисления:

 

Ответ: 181(10) = 265(8).

б) Переведите 622 в шестнадцатеричиую систему счисления:

 

Ответ: 622(10) = 26Е(16).

Перевод правильных дробей из десятичной системы счис­ления в недесятичную. Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему эту дробь надо последовательно ум­ножать на основание той системы, в которую она переводится, при этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, на­чиная с первого.

Пример.

Переведите 0,3125(10) в восьмеричную систему счисления:

 

Ответ: 0,3125(10) = 0,24(8).

Замечание. Конечной десятичной дроби может соответствовать беско­нечная (периодическая) дробь в недесятичной системе счисления. В этом случае количество знаков в представлении дроби в новой системе берется в зависимости от требуемой точности.

Пример.

Переведите 0,65(10) в двоичную систему счисления с точнос­тью до 6 знаков после запятой:

 

Ответ: 0,65(10) = 0,101001(2).

Для перевода неправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целую часть и дробную.

Пример.

Переведите 23,125(10) в двоичную систему счисления.

1) Переведем отдельно целую часть:

 

2) Переведем отдельно дробную часть:

 

Таким образом 0,125(10) = 0,001(2); 23(10) = 10111(2). Ответ: 23,125(10) = 10111,001(2).

Необходимо отметить, что целые числа остаются целыми, а правильные дроби — дробями в любой системе счисления.

Для перевода восьмеричного или шестнадцатеричного числа в двоичную форму достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим трехразрядным двоичным числом (триадой) — для восьмеричной системы счисления или четырех­разрядным двоичным числом (тетрадой) — для шестнадцатеричной системы счисления (см. табл. 2.1), после чего отбрасывают незначащие нули в старших и младших разрядах.

Пример.

а) Переведите 305,4(8) в двоичную систему счисления:

 

б) Переведите 7В2,Е(16) в двоичную систему счисления:

 

Для перехода от двоичной к восьмеричной (шестнадцатеричной) системе поступают следующим образом: двигаясь от десятичной точки влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем триаду (тетраду) заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой (табл. 2.1).

Пример.

а) Переведите 1101111001,1101(2) в восьмеричную систему счисления:

 

б) Переведите 11111111011,100111(2) в шестнадцатеричную систему счисления:

 

Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно удобно осуществлять через двоичную систему с по­мощью триад и тетрад.

Пример.

Переведите 175,24(8) в шестнадцатеричную систему счис­ления:

 

 

Ответ: 7D, 5(16).