Электрическая цепь с индуктивностью

Индуктивностью L теоретически обладают все проводники с током. Но в некоторых случаях эта индуктивность так мала, что ею вполне можно пренебречь. Значительна индуктивность у обмоток или катушек, состоящих из большого числа витков провода.

Рассмотрим идеальную катушку с постоянной индуктивностью L, то есть такую катушку, активное сопротивление которой равно нулю.

 

Пусть к цепи с индуктивностью L приложено синусоидальное напряжение . Под действием этого напряжения в цепи индуктивной катушки возникает ток i. Этот ток создает магнитный поток Ф, который согласно закону электромагнитной индукции индуцирует в катушке ЭДС самоиндукции

где w – число витков катушки.

Условное положительное направление ЭДС e_L выбирают из условия, что её действительное направление в любой момент времени противоположно направлению u_L ().

По второму закону Кирхгофа имеем , а с учетом того, что , получаем

.

Чтобы получить это уравнение на основании , условное положительное направление e_L следует всегда принимать совпадающим с положительным направлением тока.

или

Решая это уравнение, получим выражение для тока в цепи:

Так как амплитуда тока

то окончательное выражение для тока имеет вид

.

Видно, что в цепи с индуктивностью ток также изменяется по синусоидальному закону и отстает по фазе от напряжения на угол π/2.

 

 

В формуле знаменатель в правой части имеет размерность сопротивления. Это индуктивное сопротивление

.

Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте и индуктивности. С учетом этой формулы получаем

.

Для действующих значений напряжения и тока

.

Так как согласно ЭДС самоиндукции численно равна напряжению на элементе с индуктивностью, то, используя , имеем

.

Видно, что индуктивное сопротивление является коэффициентом пропорциональности между током и ЭДС самоиндукции.

В соответствии с принимая во внимание, что , комплексное напряжения , а в соответствии с и комплексный ток

.

 

На векторной диаграмме вектор напряжения, имеющий начальную фазу, равную нулю, отложен по мнимой оси, а вектор тока, имеющий начальную фазу , - в положительном направлении вещественной оси. Угол сдвига фаз между напряжением и током в цепи с индуктивностью .

Если модули напряжения и тока связаны соотношением , то их комплексные значения связаны соотношением

.

В цепи с индуктивностью L угол и формула принимает вид

,

то есть мгновенное значение мощности имеет только переменную составляющую.

 

 

Первую четверть периода ток совпадает по направлению с ЭДС самоиндукции e_L индуктивной катушки, мощность отрицательна и энергия передается от катушки к источнику питания. Вторую четверть периода ток совпадает по направлению с напряжением источника питания, мощность положительна, а энергия поступает от источника к приемнику (индуктивной катушке) и запасается в его магнитном поле. В течение третьей четверти периода ток опять совпадает по направлению с e_L и запасенная в магнитном поле катушки энергия передается источнику питания (мощность отрицательна).

Таким образом, в течение одного периода электроэнергия дважды поступает от источника в катушку и обратно. При этом вся передаваемая энергия запасается в магнитном поле катушки и затем вся возвращается источнику. Такая энергия обмена между источником и приемником, которая не преобразуется в другие виды энергии, называется реактивной. Интенсивность обмена электроэнергией характеризуется реактивной мощностью Q_L, равной амплитуде мгновенного значения мощности, то есть

Реактивную мощность выражают в вольт-амперах реактивных (вар), киловольт-амперах реактивных (квар) и т.д.

Напряжение на элементе с индуктивностью , поэтому реактивная мощность можно также определить по формулам

,

где - индуктивная проводимость.