III. 1.6. Упругое звено.

Упругое звено описывается дифференциальным уравнением вида

Примерами упругого звена (см. рис. III. 33) могут служить пассивные четырехполюсники вида

Рис. III. 33. Примеры упругого звена.

Если к вышеприведенному дифференциальному уравнению упругого звена применить преобразование Лапласа, то для нулевых начальных условий получим

и следовательно, передаточная функция звена будет

(III. 1.22)

Характеристики упругого звена существенно зависят от параметра . При λ > 1, т.е. при Т₀> T звено называется упругим дифференцирующим, в противном случае, при λ < 1 – упругим интегрирующим.

Переходная характеристика упругого звена находится обычным путем.

Поскольку [ ]

то получим для h(t)

Для построения этой зависимости найдем значение h(t) при t = 0 и t→ ∞:

Легко понять, что для упругого дифференцирующего звена (λ > 1) h(0) > h( ∞), а для упругого интегрирующего звена (λ < 1) h(0) < h( ∞). В соответствии с этим зависимости h(t) для λ > 1 и λ < 1 примет вид, изображенный на рис. III. 34 а, в

а) λ >1 в) λ < 1

Рис. III. 34. Переходная характеристика упругого звена.

Весовая функция звена может быть определена из соотношения

В нашем случае

Первое слагаемое этого выражения равно нулю для всех t ≠ 0 (ибо δ(t) = 0 при t ≠ 0), а при t = 0

поэтому

Окончательно

Видно, что весовая функция (рис. III. 35) состоит из двух составляющих – первая - это δ – функция площадью kλ, проходящая по оси ординат, и вторая существует для всех t ≥ 0. Кроме того, из последнего выражении можно усмотреть, что весовая функция w(t) упругого звена зависит от параметра λ. Следовательно, графики w(t) дифференцирующего (λ >1) и интегрирующего (λ <1) упругих звеньев (рис. III. 35 а, б) будут иметь различный вид

а) λ >1 в) λ < 1

Рис. III.35. Весовая функция упругого звена.

Частотная передаточная функция звена, исходя из (III.1.22), имеет вид

Следовательно, амплитудная частотная A() фазовая частотная φ() характеристики могут быть представлены следующим образом

φφ₁() – φ₂()

Отсюда видно, что A() и φ() зависят от постоянных времени Т₀ и Т и, значит, от параметра . При λ >1, т.е. Т₀>T или , зависимости A(), φ() и w() представлены на рис. III. 36, а при λ < 1, т.е Т₀< T или - на рис. III. 37. при построении A() при → ∞ следует иметь в виду, что

а) в) с)

Рис. III.36. A(), φ() и w() упругого дифференцирующего звена (λ > 1).

а) в) с)

Рис. III.37. A(), φ() и w() упругого интегрирующего звена (λ < 1).

Выражение для точной ЛАЧХ определяется следующим образом

Из (III. 1.22) видно, что передаточная функция звена имеет два постоянных времени Т₀ и Т, значит, асимптотическая ЛАЧХ содержит две сопрягающие частоты и , и три частотных участка.

Рассмотрим сначала случай λ >1, т.е. (рис. III.38)

I участок

, T₀<1.

, T<1.

Тогда выражение для первой асимптоты с учетом этих неравенств примет вид

Это уравнение прямой, проходящей на I участке параллельно оси абсцисс на расстоянии от нее (если, допустим, примем, что k = 0.1, то L₁() = – 20 дб).

II участок

, T₀>1.

, T<1.

С учетом этих неравенств уравнение для второй асимптоты получится из выражения для точной ЛАЧХ в следующем виде

Получим уравнение прямой, проходящей через конец первой асимптоты с наклоном +20.

III участок

, T₀>1.

, T>1.

Для этого участка уравнение асимптоты примет вид

Это выражение характеризует горизонтальную прямую, проходящую через конец второй асимптоты.

Рис. III.38. ЛАЧХ упругого дифференцирующего звена (λ >1).

Построение ЛАЧХ можно сильно упростить, если воспользоваться нижеследующей методикой.

Первая асимптота ЛАЧХ заканчивается на сопрягающейся частоте , которой соответствует постоянная времени . Из выражения для передаточной функции (III.1.22) видно, что эта постоянная времени расположена в скобке , находящейся в числителе. Известно мнемоническое правило, что если скобка находится в числителе, то ЛАЧХ на частоте претерпевает излом на + , а если в знаменателе, то .

В нашем случае , и, следовательно, ЛАЧХ “ломается” на +20. Поэтому, раз наклон первой асимптоты был ноль, а на частоте ЛАЧХ изменила его на +20, то наклон ЛАЧХ на II участке будет 0+20= 20. Сопрягающей частоте соответствует постоянная времени Т. с, которая, как видно из (III. 1.22) расположена в скобке, находящейся в знаменателе. Значит, на частоте _c₂ ЛАЧХ претерпевает излом на -20и наклон ЛАЧХ на III участке будет -20+20= 0.

Рассмотрим теперь случай λ <1, т.е (рис. III. 39).

I участок.

, T<1.

, T₀<1.

Выражение для первой асимптоты выглядит следующим образом.

Итак, первая асимптота – прямая линия, параллельная оси частот и отстоящая от нее на расстоянии ( например при k = 1000 ). Первая асимптота заканчивается частотой , которой соответствует постоянная времени Т, расположена в скобке, находящейся в знаменателе передаточной функции звена. Значит, ЛАЧХ на частоте претерпевает излом на -20, а вторая асимптота будет проходить с наклоном 0 –20= – 20до сопрягающей частоты . Этой частоте соответствует постоянная времени Т₀, расположенная в скобке числителя (III.1.22). Следовательно, ЛАЧХ на частоте “изломается” на +20и суммарный наклон ЛАЧХ на III участке будет -20+ 20= 0.

Рис. III.39. ЛАЧХ упругого интегрирующего звена (λ < 1).

Из сказанного понятно, что на всех участках, кроме первого, определить наклон асимптот ЛАЧХ указанным способом не представляет сложности. Позже в III.2 будет показано, как также просто строить и первую асимптоту.