Линейный коэффициент корреляции

Более совершенным показателем степени тесноты связи является линейный коэффициент корреляции (r).

При расчете этого показателя учитываются не только знаки отклонений индивидуальных значений признака от средней, но и сама величина таких отклонений, т.е. соответственно для факторного и результативного признаков, величины и . Однако непосредственно сопоставлять между собой полученные абсолютные величины нельзя, так как сами признаки могут быть выражены в разных единицах (как это имеет место в представленном примере), а при наличии одних и тех же единиц измерения средние могут быть различны по величине. В этой связи сравнению могут подлежать отклонения, выраженные в относительных величинах, т.е. в долях среднего квадратического отклонения (их называют нормированными отклонениями). Так, для факторного признака будем иметь совокупность величин , а для результативного .

Полученные нормированные отклонения можно сравнивать между собой. Для того чтобы на основе сопоставления рассчитанных нормированных отклонений получить обобщающую характеристику степени тесноты связи между признаками для всей совокупности, рассчитывают среднее произведение нормированных отклонений. Полученная таким образом средняя и будет являться линейным коэффициентом корреляции r.

(1.2)

или поскольку s_x и s_y для данных рядов являются постоянными и могут быть вынесены за скобку, то формула линейного коэффициента корреляции приобретает следующий вид:

(1.3)

Линейный коэффициент корреляции может принимать любые значения в пределах от –1 до +1. Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к 1, тем теснее связь между признаками. Знак при линейном коэффициенте корреляции указывает на направление связи: прямой зависимости соответствует знак плюс, а обратный зависимости – знак минус.

Если с увеличением значений факторного признака х, результативный признак у имеет тенденцию к увеличению, то величина коэффициента корреляции будет находиться между 0 и 1. Если же с увеличением значений х результативный признак у имеет тенденцию к снижению, коэффициент корреляции может принимать значения в интервале от 0 до –1.

Полученная величина линейного коэффициента корреляции, как и найденный выше коэффициент Фехнера, свидетельствует о возможном наличии достаточно тесной прямой зависимости между затратами на рекламу и количеством туристов, воспользовавшихся услугами фирмы.

Квадрат коэффициента корреляции (r²) носит название коэффициента детерминации. Для рассматриваемого примера его величина равна 0,6569, а это означает, что 65,69% вариации числа клиентов, воспользовавшихся услугами фирмы, объясняется вариацией затрат фирм на рекламу своих услуг.

Здесь еще раз следует напомнить, что сама по себе величина коэффициента корреляции не является доказательством наличия причинно-следственной связи между исследуемыми признаками, а является оценкой степени взаимной согласованности в изменениях признаков. Установлению причинно-следственной зависимости предшествует анализ качественной природы явлений. Но есть и еще одно обстоятельство, объясняющее формулировку выводов о возможном наличии связи по величине коэффициента корреляции.

Связано это с тем, что оценка степени тесноты связи с помощью коэффициента корреляции производится, как правило, на основе более или менее ограниченной информации об изучаемом явлении. Возникает вопрос, насколько правомерно наше заключение по выборочным данным в отношении действительного наличия корреляционной связи в той генеральной совокупности, из которой была произведена выборка?

Принципиально возможны случаи, когда отклонение от нуля полученной величины выборочного коэффициента корреляции оказывается целиком обусловленным неизбежными случайными колебаниями тех выборочных данных, на основании которых он вычислен. Особенно осторожно следует подходить к истолкованию полученных коэффициентов корреляции при незначительных объемах выборочной совокупности.