Выражение смешанного произведения через координаты.

Пусть заданы вектора: а = а_хi + а_yj + а_zk , b = b_хi + b_yj + b_zk и с = с_хi + с_yj + с_zk

Найдем их смешанное произведение, используя выражение в координатах для векторного и скалярного произведений:

 

= (1)

 

Полученную формулу можно записать в виде:

 

Следовательно, смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.

 

Некоторые приложения смешанного произведения.

1) Определение взаимной ориентации векторов в пространстве.

Если abc>0 , то a,b,c – правая тройка

Если abc<0, то a,b,c – левая тройка

 

2) Установление компланарности векторов.

a,b,c – компланарны, когда их смешанное произведение равно 0. (аbc=0)

 

3) Определение объема параллепипеда и треугольной пирамиды.

 

;

Пример: вершинами пирамиды служат точки: А(1;2;3) B(0;-1;1) C(2;5;2) D(3;0;-2) Найдем объем пирамиды V=?

Решение:

a=AB=(-1;-3;-2)

b=AC=(1;3;-1)

c=AD=(2;-2;-5)