Векторное произведение векторов и его свойства.

Векторным произведением вектора а на b называется вектор с, который

1) перпендикулярен векторам а и b

2) имеет длину численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и b.

 

С │c│=│a││b│sinφ

 

B S

φ

b

 

3)Вектора a,b,c образуют правую тройку

а × b; [a,b]

 

 

 

Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие отношения между ортами i, j,k

i × j = k ; j × k = i ; k × i = j

 

Докажем, например, что i × j = k:

1)k перпендикулярен к i; k перпендикулярен к j

2)│k│=1, но │i × j │=│i│×│j│sin90⁰ = 1

3) вектора i, j, k образуют правую тройку

 

Три некомпланарных вектора a, b, с образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору b.

правая тройка левая тройка

с с

 

а b а b

Свойства векторного произведения:

1) при перестановке сомножителей, векторное произведение меняет знак.

a×b a×b = - b×a

S Вектора a×b и b×a коллинеарны, имеют одинаковые модули (S

параллелограмма остается неизменной), но противоположно

направлены.

b×a

2) Векторное произведение обладает сочетательным свойством, относительно скалярного множителя.

λ(a×b) = (λ a)×b = (a×λ b)

 

Доказательство:

Пусть λ›0 ; λ(a×b) перпендикулярен а и b, вектор (λ a)×b также перпендикулярен а и b. Вектора а и λ a лежат в одной плоскости. Значит вектора λ(a×b) и (λ a)×b коллинеарны. Очевидно, что их направления совпадают, имеют одинаковую длину.

│λ(a×b) │= λ│a×b│=λ│а││b│sin(a,b)

│(λ a)×b│= │λ a││b│sin(λ a,b) = λ│a││b│sin(a,b)

Поэтому λ(a×b) = λ a×b

Аналогично доказывается при λ‹0

 

3) Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно ненулевому вектору, то есть:

а || b <=> a×b = 0

 

4) (a + b)c = ac + bc