Проекция вектора на ось.
Пусть в пространстве задана ось l α
M
M1 L
Проекции точки М на ось l называется основание перпендикуляра ММ1 опущенного из точки на ось. Точка М1 – есть точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно оси. Если точка М лежит на оси l, то проекция точки М на ось совпадает с М.
Пусть АВ - произвольный вектор. │АВ│≠ 0. Обозначим через А1 и В1 проекции на ось l соответственно начало А и конец В вектора АВ и рассмотрим вектор А1В1
Проекции вектора АВ на ось l называется положительное число │А1В1│, если вектор А1В1 и ось l одинаковы направлены, и отрицательное число - │А1В1│, если вектор А1В1 и ось l противоположно направлены.
А В
А1 В1 l (и соотв
наоборот)
Если точки А1 и В1 совпадают (│А1В1│=0), то проекцией вектора АВ=0. Проекция вектора АВ на ось l обозначается: прlАВ. Если АВ = 0 или АВ перпендикулярен к оси l, то прlАВ=0.
Угол φ между вектором а и осью l изображен на рисунке:
A
φ l
Рассмотрим некоторые основные свойства проекции:
1) Проекция вектора а на ось l равна произведению модуля вектора а на cosφ
прl а= │а│∙ cosφ
Если
Если
Если
Следствие 1. Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует острый (тупой) угол и равна 0, если этот угол прямой.
Следствие 2. Проекции равных векторов на одну и туже ось равны между собой.
2) Проекция суммы нескольких векторов на одну и туже ось равна сумме их проекций на эту ось. d = a + b + c ; прl(a+b+c) = прla + прlb + прlc
b
a с
d
a b l
d c
3) При умножении вектора а на число λ, его проекция на ось также умножается на это число: прl(λa) = λ прla
при λ›0 имеем: прl(λa) = │λa │cosφ = λ│a│ cosφ = λ прla
при λ‹0 имеем прl(λa) = │λa │cos(π-φ) = -λ│a│(-cosφ) = λаcosφ = λ прla
свойство спра ведливо при λ = 0