Математическая теория потребления. Формализация предпочтения потребителя при выборе товаров

Математические модели и методы, изучаемые в этом разделе нужны для исследования потребительского поведения на рынке готовой продукции, предпочтений индивидуального потребителя, полезности и классификации товаров, эластичности и других свойств спроса, эффекты дохода и замещения.

Формализация предпочтения потребителя при выборе товаров

Предметом изучения является поведение отдельного участника экономики, как потребителя товаров. Эта проблема рассматривается с точки зрения рационального распределения личного бюджета (дохода) потребителя, которая в конечном счете сводится к решению вопроса о том, какое количество каждого наличного товара он должен приобрести при заданных ценах и известном доходе.

Для получения математической модели задачи потребителя нам нужно формализовать такие понятия как товар, цель потребления товаров, цена товара, бюджет и покупательская способность потребителя.

Будем предполагать, что количество каждого товара можно измерять вещественным неотрицательным числом (в штуках, в килограммах, в метрах, в литрах, в человеко-часах и т.д.).

Пусть на рынке производится и продается n видов товаров. Вид товара будем обозначать индексом i, так что . Обозначим через количество i-го товара. Вектор будем называть набором товаров. Если в наборе x для некоторых , то будем говорить, что товар вида i не приобретается данным потребителем. Поэтому множество будем называть пространством товаров.

Заметим, что на количество товаров не накладываются ограничения сверху. Иначе говоря, мы предполагаем, что на рынке существует достаточное количество товаров.

Человек приобретает (покупает) товары с целью максимального удовлетворения своих потребностей. У каждого есть свои вкусы, каждый по своему оценивает пользу или вред от потребления товара. Поэтому потребитель стремится выбрать в пространстве "лучший" с его индивидуальной точки зрения товар. При сравнении двух наборов x и y одни предпочтут x, другие - y.

Для того чтобы формализовать выбор потребителя с учетом его цели, в пространстве определим (индивидуальное) отношение предпочтения, обозначаемое символом

Запись означает, что либо x предпочтительнее чем y, либо наборы x и y для потребителя безразличны (то есть x по крайней мере так же хорош, как и y). Заметим, что в отношении набор товаров рассматривается как одно целое (в отличие от векторного неравенства , понимаемого покомпонентно).

Строгое предпочтение имеет место, если и только если , а несправедливо.

Говорят, что наборы x и y безразличны для данного потребителя (обозначают ) тогда и только тогда, когда и .

Приведем примеры конкретных отношений предпочтения и безразличия.

Пример. Для сравнения любых наборов предварительно проведем ранжировку (упорядочение) компонентов этих векторов (то есть видов товаров) по важности для данного потребителя: товар вида важнее, чем товар вида , . После этого определим отношение следующим образом: , если выполнено одно из условий:

Такое отношение называется лексикографическим предпочтением, так как оно определено по правилу составления списка наименований по алфавиту.

Отношение предпочтения может обладать рядом содержательных свойств:

1) ненасыщаемость: для любых неравенство влечет и неравенства , влекут ;

2) выпуклость: для любых отношение влечет , где .

Если все товары хорошего качества, то естественно, большее их количество будет предпочтительнее, чем меньшее. Этот факт и отражен в свойстве ненасыщаемости. Оно означает отсутствие такого набора , что для всех (отсутствие точки насыщения).

Выпуклость отношения предпочтения означает, что если набор x предпочтительнее набора y, то любая их «смесь» остается предпочтительней чем y.