Решение.

На первом этапе построим область допустимых решений – многогранник решений.

Для каждого их заданных неравенств на плоскости строим полуплоскости, то есть множество точек, удовлетворяющих неравенству.

Для этого, например, построим сначала прямую . Эта прямая проходит через точки (0;6) и (12;0) – точки ее пересечения с осями координат. Затем возьмем произвольную точку, не лежащую на этой прямой точка, например точку (0;0), и проверим, удовлетворяют ли ее координаты соответствующему неравенству или нет. Если координаты точки удовлетворяют неравенству, то вся полуплоскость, в которой находится эта точка, является допустимой (по отношению к этому условию). В противном случае, полуплоскость является недопустимой и на рисунке заштриховывается. Таким же образом поступаем со всеми неравенствами, заданными в задаче.

В следующей таблице приведены результаты вычисления координат точек, через которые проходят прямые, определяемые неравенствами исходной системы. Получим искомый многогранник решений. На рис. 4.2 многогранник решений изображен в виде заштрихованной области.

Уравнение Х1 Х2 Х1 Х2 Точка (0,0)
Удовлетворяет неравенству
Удовлетворяет неравенству
Не удовлетворяет неравенству

 

Рис. 4.2. На втором этапе построим прямые – линии уровня целевой функции, то есть линии, во всех точках которых значение целевой функции постоянно. Для этого выбираем произвольные значения целевой функции, например, Q=10.

Тогда точки, в которых целевая функция принимает значение 10, лежат на прямой - линии уровня Q=10.(на рисунке эта линия обозначена точками). Все линии уровня, принадлежащие другим значениям, являются прямыми, параллельными прямой Q=10. Направление, в котором следует параллельно смещать линию уровня, чтобы достичь меньших значений, определим, построив линию уровня Q=15.

В следующей таблице приведены результаты вычисления координат точек, через которые проходят выбранные линии.

Уравнение Х1 Х2 Х1 Х2
Q=10
Q=15 7,5

Построим по координатам найденных точек линии уровня.

Укажем с помощью линии со стрелкой, перпендикулярной линии уровня, направление уменьшения значений целевой функции.

Путем параллельного переноса линий уровня в направлении меньших значений целевой функции получаем, что множеству P принадлежит одна точка, которая является точкой пересечения прямой, заданной неравенством 3, и прямой х2=0.

Для нахождения координат точки P необходимо решить систему уравнений, содержащую уравнения прямых, на пересечении которых лежит точка P.

Решением этой системы является точка х1=3, х2=0: P = { (3;0) }.

Решением задачи является точка (3;0), в которой целевая функция принимает минимальное значение:

Qmin=3+2,5*0=3.

Все задачи линейного программирования с двумя переменными можно решить при помощи графического метода, объясненного на этом примере.