Рассмотрим задачу определения оптимального портфеля.

Инвестор может вложить свои деньги не в один вид ценных бумаг, а в несколько видов, сформировав портфель ценных бумаг. Как уже говорилось, это, как правило, наиболее целесообразно.

Произведем соответствующий анализ. Пусть x_j, j=1, 2, …,n – доля общего вложения, приходящаяся на j-й вид ценных бумаг, так что

(2.1)

Доходность портфеля R_p, очевидно, равна

, (2.2)

если доходность j-го вида равна R_j.

Согласно правилам теории вероятностей ожидаемый доход от портфеля равен

. (2.3)

Отклонение от ожидаемого значения равно

. (2.4)

Математическое ожидание квадрата этого отклонения есть дисперсия дохода портфеля

, (2.5)

где величины

являются ковариациями случайных величин R_i и R_j.

Любой вид рисковых ценных бумаг мы будем характеризовать двумя величинами: ожидаемой доходностью и мерой риска – вариацией или среднеквадратичным отклонением эффективности. Эти же величины можно вычислить для любого портфеля ценных бумаг, если известны ковариации между эффективностями.

Естественно, что и ожидаемая эффективность, и вариация портфеля будут зависеть от его структуры, т. е. доли исходного капитала, вложенной в каждый вид ценных бумаг. Инвестор всегда сталкивается с дилеммой: желание обеспечить вложение с наименьшим риском. Поскольку «нельзя поймать двух зайцев сразу», необходимо сделать определенный выбор, который зависит от характера самого инвестора и от его склонности к риску. Однако разумный инвестор должен быть уверен, что, определив в качестве цели достижение наибольшей ожидаемой эффективности, он выберет такую структуру, которая поможет добиться этого с наименьшим риском.

Математическая формализация этого процесса впервые предложена Г. Марковицем (H. Markovitz) в 1951 г., за что позднее он был удостоен Нобелевской премии по экономике. Сам факт присуждения этой премии является свидетельством важности проблемы оптимального портфеля для экономической науки в целом.

Пусть, как и ранее, x_j – доля капитала, вложенного в ценные бумаги j-го вида. Тогда, учитывая формулы (2.3), (2.5), можно свести задачу выбора оптимальной структуры портфеля к следующей математической проблеме.

Найти x_j, минимизирующие риск доходности портфеля

,

при условии, что обеспечивается заданное значение m_p ожидаемой доходности, т. е.

.

Поскольку x_i – доли, то в сумме они должны давать единицу:

.

Решение этой задачи обозначим знаком *. Если x_j*>0, то это означает рекомендацию вложить долю x_jx* наличного капитала в ценные бумаги вида j. Если x_j*<0, то это означает рекомендацию взять в долг ценные бумаги этого вида в количестве - x_j* (на единицу наличного капитала), т. е. участвовать в операции типа short sale. Если таковые невозможны, то приходится вводить дополнительное требование: x_j не должны быть отрицательными.

Через несколько лет после публикации знаменитой Г. Марковица об оптимальном портфеле другой крупнейший американский экономист Д. Тобин (также впоследствии лауреат Нобелевской премии) заметил, что решение задачи резко упрощается и приобретает новые особенности, если учесть простой факт: кроме рисковых ценных бумаг на рынке имеются и безрисковые (или почти безрисковые) типа государственных обязательств с фиксированным доходом.

Поэтому и на практике, и в теории главная задача – правильное распределение капитала между безрисковыми и рисковыми вложениями.