Апериодическое (инерционное) звено второго порядка

Уравнение звена

. (3.13)

Уравнение в операторной форме

. (3.14)

Характеристическое уравнение звена

. (3.15)

Имеем два корня

(3.16)

Общее решение дифференциального уравнения, определяющее свободное движение (решения однородного дифференциального уравнения), имеет вид

. (3.17)

Характер переходного процесса звена зависит от вида корней, которые могут быть действительными или комплексными числами.

Если Т₁>2Т₂, то корни характеристического уравнения будут действительными числами, которые можно представит в виде:

, , (3.18)

где Т₃ и Т₄ – некоторые условные постоянные времени, причем Т₃ > Т₄.

Тогда динамическая характеристика звена имеет монотонный апериодический характер и звено называется апериодическим звеном второго порядка. Из уравнения (3.14) получается передаточная функция звена, знаменатель которой можно разложить на два множителя и представить передаточную функцию в следующем виде

, (3.19)

где ; .

Из (3.19) следует, что инерционное звено второго порядка можно представить как последовательное соединение двух апериодических (инерционных) звеньев первого порядка с постоянными времени Т₃ и Т₄:

, (3.20)

где ; .

Решение уравнения (3.13) с использованием условных постоянных времени Т₃ и Т₄ при нулевых начальных условиях и однократном ступенчатом воздействии х_вх(t)=const имеет вид

. (3.21)

Временная характеристика (кривая разгона) представлена на рис. 3.7.

Частотные характеристики звена удобно получить из представления последовательного соединения двух апериодических звеньев первого порядка. Частотная передаточная функция, получаемая при замене оператора р величиной jw, также представляется произведением частотных передаточных функций составляющих звеньев

(3.22)

 

Рис. 3.7. Кривая разгона апериодического звена второго порядка

Используя выражение W(jw) через амплитудно-частотную А(w) и фазо-частотную j(w) характеристики, имеем

(3.23)

Следовательно, амплитудно-частотные характеристики последовательно соединенных звеньев перемножаются, а фазочастотные – складываются:

, . (3.24)

Частотные характеристики апериодических звеньев первого порядка известны. Тогда амплитудно-частотная характеристика апериодического звена второго порядка будет

; (3.25)

а фазочастотная

. (3.26)

Из уравнений (3.25) и (3.26) следует, что при изменении частоты w от 0 до ¥ А(w) изменяется от k (w=0) до 0 (w=¥), а фазовый сдвиг изменяется от 0 (w=0) до –p (w=¥).

Апериодическое звено второго порядка так же, как и звено первого порядка, хорошо пропускает сигналы низкой частоты и плохо – сигналы высокой частоты.

Инерционными звеньями второго порядка являются обычно такие конструктивные элементы автоматических систем, которые содержат два накопителя вещества или энергии: последовательное соединение двух гидравлических емкостей (рис. 3.8,а) или последовательное соединение двух цепей RС (рис. 3.8,б).

а	б
Рис. 3.8. Примеры апериодических звеньев второго порядка