Частотные характеристики

Они описывают вынужденные колебания на выходе системы, вызванные гармоническими воздействиями на ее входе. В реальных системах часто входной сигнал изменяется по гармоническому закону при заданной амплитуде и частоте.

При исследовании САР ставится задача нахождения параметров колебаний системы на выходе по известным параметрам колебаний на входе. Решение этой задачи с помощью временных характеристик представляет определенные трудности. Рассматриваемый ниже частотный метод позволяет получить реакцию элемента или системы на любой периодический сигнал.

Если на вход элемента (или системы) подавать синусоидальные (гармонические) колебания с постоянной амплитудой и угловой частотой w , то после затухания переходных процессов (в установившемся режиме) на выходе также возникают синусоидальные колебания с той же частотой, но с другой амплитудой и сдвинутые по фазе на время Dt относительно входных колебаний (рис. 2.17).

 

Рис. 2.17. Гармонические колебания: Входной хвх и выходной хвых величин. Т – период колебаний.

 

При изменении частоты w от 0 до ¥ с одинаковой амплитудой колебаний А_вх на выходе с течением времени будут устанавливаться колебания с другой амплитудой А_вых(w) и другим фазовым сдвигом (углом j(w)). Угол j(w) можно рассчитать по временному сдвигу Dt:

.

Для исследования и расчетов систем автоматического регулирования применяют преобразование Фурье, которое состоит в переходе от оригинала функции х(t) к ее изображению по Фурье:

. (2.49)

Это выражение называется прямым односторонним преобразованием Фурье, а комплексная функция Х(jw) – изображением по Фурье или спектром функции х(t).

Из сравнения выражений (2.26) и (2.49) следует, что односторонние преобразования Лапласа и Фурье тесно связаны и могут быть получены одно из другого. Для перехода от изображения функции х(t) по Лапласу к ее изображению по Фурье необходимо произвести замену символа р независимого комплексного переменного символом jw мнимого числа.

Покажем это на следующем примере.

Используя символическую запись синусоидальных колебаний в показательной форме, входные и выходные гармонические колебания можно представить в виде

; ,

где – геометрически изображается вращающимся единичным вектором в комплексной плоскости. Пусть уравнение элемента имеет вид

, (2.50)

а его передаточная функция

. (2.51)

Тогда , и после подстановки в уравнение элемента (2.50) х_вх, х_вых и получим

,

или

,

. (2.52)

Из сравнения (2.51) и (2.52) видно, что

, (2.53)

где W(jw) – частотная передаточная функция элемента.

Из (2.52) следует, что

(2.54)

есть модуль вектора частотной передаточной функции. Его называют амплитудной частотной характеристикой элемента (АЧХ); а – аргумент вектора W(jw), который представляет собой фазовую частотную характеристику (ФЧХ). Выражение (2.53) называют также амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ).

Графически амплитудно-фазовая частотная характеристика (частотная передаточная функция) изображается в комплексной плоскости в полярных координатах (А, j) как годограф функции W(jw). Эту функцию можно строить и в прямоугольных координатах на комплексной плоскости с выделением мнимой Jm(w) и вещественной Re(w) частей (рис. 2.18).

Рис. 2.18. Амплитудно-фазовая частотная характеристика элемента

Из прямоугольного треугольника на рис. 2.18 следует переход от алгебраической формы записи амплитудно-фазовой характеристики W(jw) к показательной:

; . (2.55)

Амплитудно-фазовая характеристика системы W(jw) не зависит от времени. В этом ее принципиальное отличие от временной характеристики. Если временная характеристика определяет поведение системы в переходном процессе, то АФХ выражает зависимость параметров установившихся выходных колебаний от тех же параметров входных колебаний при различных частотах.

Однако, несмотря на то, что АФХ отображает только установившиеся процессы в системе, она в полной мере определяет также ее динамические свойства подобно временной характеристике или дифференциальным уравнениям.