Составление дифференциальных уравнений элементов САР. Безразмерная форма уравнений. Понятие коэффициента передачи, постоянной времени, передаточной функции

Дифференциальные уравнения простых элементов можно составить, используя закономерности протекающих в них физических явлений. Такими закономерностями могут быть: закон сохранения вещества (объекты регулирования уровня, давления), закон сохранения энергии (объекты регулирования температуры, тепловых нагрузок), закон равновесия электродвижущих сил, законы Ома, Кирхгофа и т.п. Математическое выражение основного закона, определяющего процесс, протекающий в элементе, и является исходным дифференциальным уравнением динамики элемента. Рассматривают уравнения статики и динамики элемента.

В качестве примера – бака с водой получим уравнение объекта регулирования уровня воды (рис. 2.5.).

Рис. 2.5. Бак с водой как элемент САР

В бак поступает вода в количестве Q₁ [м³/с] и вытекает в количестве Q₂ [м³/с]. Площадь бака S [м²]; Н₀ – значение уровня в статическом режиме; DН – отклонение уровня от установившегося значения Н₀.

Cтатический режим. В этом режиме приток воды в бак Q_1,0 равен ее расходу из бака Q₂.

; . (2.9)

В этом режиме .

Динамический режим. В этом режиме приток воды Q₁не равен ее расходу из бака Q₂ (Q₁ ¹ Q₂). Если приоткрыть регулирующий орган на притоке (Р.О.), то Q₁ будет больше Q₂ и объем воды будет увеличиваться на величину DV, что приведет к росту уровня воды на величину DН.

Уравнение баланса расходов воды будет

Возникший небаланс DQ [м³/с] равен скорости изменения объема воды в баке:

Тогда уравнение баланса в динамике примет вид

Приток Q₁ и расход воды Q₂ можно записать в виде

; .

Тогда уравнение динамики примет вид

так как на основании (2.9). Получили уравнение в отклонениях от статического режима работы. В рассматриваемом баке расход Q₂ зависит от уровня воды в баке Н, т.е. . При малых отклонениях от статического режима можно Q₂ линеаризовать:

Тогда уравнение динамики бака примет вид

. (2.10)

В теории линейных систем автоматического регулирования дифференциальные уравнения часто переводят в безразмерную форму. Это позволяет сравнивать динамические и статические характеристики элементов, которые имеют совершенно различные принципы действия и в которых протекают процессы разной физической природы.

Для перевода дифференциального уравнения в безразмерную форму отклонения входных и выходных величин относят к базовым значениям величин (максимальным, средним, заданным постоянным). Тогда входные и выходные величины элемента выражаются в долях от этих базовых значений.

Примем для уравнения (2.10) за базовое значение уровня заданное значение Н₀, а для изменения притока – его максимальное значение Q₁_max при полностью открытом регулирующем органе.

Безразмерные величины: выходная – ; входная .

После подстановки этих значений в (2.10) получим

. (2.11)

Запишем это уравнение в принятом в автоматике стандартном виде, когда коэффициент при свободном члене х_вых в левой части уравнения равен единице. Тогда уравнение (2.11) примет вид

. (2.12)

Введем обозначения: ; . Тогда имеем

. (2.13)

В этом уравнении коэффициент при производной Т имеет размерность времени и называется постоянной времени. Физический смысл постоянной времени выясняется конкретно для каждого элемента. Коэффициент k безразмерный и называется коэффициентом усиления, так как он показывает, во сколько раз выходная величина х_вых отличается от входной х_вх в статическом режиме работы.

Уравнение статики из (2.13) имеет вид

и . (2.14)

Коэффициент усиления k полностью характеризует статические свойства объекта.

Если последовательно соединить два бака с водой, то для изменения безразмерного уровня воды во втором баке можно получить

, (2.15)

где Т₂ и Т₁ – постоянные времени; k – коэффициент усиления.

Решение уравнений (2.13) и (2.15) полностью определяет динамику элементов.

Линейные дифференциальные уравнения, используемые для описания динамики элементов и систем автоматического регулирования, можно решить классическим методом или путем применения преобразования Лапласа. Согласно классическому методу, решение линейного неоднородного уравнения, по которому определяют изменение величин х_вых(t) во времени при заданном возмущении х_вх(t) и известных начальных условиях, можно представить в виде суммы:

где – общее решение однородного дифференциального уравнения; – частное решение неоднородного дифференциального уравнения (с учетом правой части).

Поскольку общее решение однородного уравнения не зависит от правой части уравнения (2.13), (2.15) и характера изменения входного воздействия х_вх(t), то составляющая решения определяет свободное движение элемента и называется переходной (свободной) составляющей. Частное решение определяет вынужденное движение элемента, обусловленное действием х_вх(t), и зависит как от параметров элемента (T, k), так и от закона изменения входного возмущения х_вх(t). Частное решение называется вынужденной составляющей и характеризует установившийся процесс в системе.

Решение линейных дифференциальных уравнений более высоких порядков классическим методом представляет собой более сложную задачу, поэтому в теории автоматического управления и регулирования переходят к алгебраическим уравнениям, записывая дифференциальные уравнения в символической (операторной) форме. Переход к этой форме осуществляют введением сокращенного условного обозначения операции дифференцирования:

; ; …; .

Тогда уравнения (2.13) и (2.15) в операторной форме будут иметь вид

; (2.16)

. (2.17)

Обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, описывающее динамические свойства линейной системы, имеющей одну входную х_вх(t) и одну выходную величины х_вых(t), имеет вид

(2.18)

Уравнение в символической (операторной) форме будет

(2.19)

Многочлены от р степени n и m, находящиеся в левой и правой частях уравнения (2.19), называют дифференциальными операторами. Каждый такой оператор устанавливает соответствие между функцией времени и определенной совокупностью производных этой функции.

Многочлен правой части уравнения

(2.20)

называют собственным оператором, а многочлен в левой части уравнения

(2.21)

называют оператором воздействий.

Название собственный оператор обусловлено тем, что многочлен D(р) характеризует собственное движение элемента, то есть движение при отсутствии внешних воздействий.

У всех реальных элементов и систем порядок наивысшей производной во входном операторе (m) не может быть больше порядка наивысшей производной в собственном операторе (n), т.е. всегда m £ n. Если в процессе каких-либо формальных выкладок образуется уравнение, у которого m > n, то говорят, что это уравнение соответствует физически нереализуемой системе.

Уравнения элементов невысокого порядка принято записывать в стандартной форме, при которой коэффициент при выходной величине х_вых(t) равен единице. Тогда коэффициент перед входной величиной х_вх(t) в правой части уравнения становится равным передаточному коэффициенту, а коэффициенты при производных будут иметь размерность времени в степени, равной порядку соответствующей производной.

Например, имеем уравнение второго порядка

. (2.22)

Тогда символическая (операторная) форма уравнения (2.22) имеет вид

. (2.23)

Путем деления всех членов уравнения (2.22) на коэффициент а₀ получим

, (2.24)

или

, (2.25)

где ; ; ; .

Коэффициенты Т, Т₁, Т₂ – постоянные времени, характеризующие динамические свойства элемента; k – коэффициент передачи элемента.

Строгий перевод дифференциальных уравнений в операторную форму осуществляется операционным методом, в основе которого лежит интегральное преобразование Лапласа.

Преобразование Лапласа состоит в том, что вместо функции времени х(t) используют функцию комплексной переменной , где . Функция называется изображением функции х(t) по Лапласу, а функция х(t) называется оригиналом функции . Операция перехода от х(t) к называется прямым односторонним преобразованием Лапласа и обозначается символом L:

. (2.26)

На основании (2.26) можно записать изображения по Лапласу функций х_вых(t) и х_вх(t):

Преобразования Лапласа выполнимы лишь для таких функций времени, которые равны 0 при t < 0. Это условие обеспечивается обычно умножением функции х(t) на единичную ступенчатую функцию 1(t). С математической и физической точек зрения такой искусственный прием корректен, так как функции х(t) описывают процессы в автоматических системах, начинающиеся с некоторого момента времени, который всегда можно принять за начало отсчета.

Изображения простейших функций времени, наиболее часто используемых в расчетах автоматических систем, приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Изображение простейших функций по Лапласу

Функция	x(t)	X(p)=L{ x(t)}
Дельта-функция	d(t)
Ступенчатая функция
Степенная функция
Экспонента
Синусоида
Косинусоида
Периодическая функция

При анализе автоматических систем используют основные свойства преобразования Лапласа, приведенные в табл.2.2.

Наиболее важными свойствами преобразования Лапласа являются свойства, формулируемые в виде правил:

при нулевых начальных условиях дифференцированию оригинала х(t)по переменной t соответствует умножение Х(р) на комплексную переменную р, а интегрированию оригинала соответствует деление Х(р) на р.

На этих двух свойствах основан операционный метод решения дифференциальных уравнений, который заключается в следующем. Исходное дифференциальное уравнение (или интегродифференциальное), записанное относительно искомой выходной функции х_вых(t), заменяют алгебраическим уравнением относительно изображения Х_вых(р).

Таблица 2.2

Основные свойства преобразования Лапласа

Наименование	Оригинал	Изображение
Линейность
Правило дифференцирования (при нулевых начальных условиях)
Правило интегрирования (при нулевых начальных условиях)
Смещение аргумента оригинала (теорема запаздывания)
Теорема о начальном значении оригинала
Теорема о конечном значении оригинала

Решая алгебраическое уравнение при заданном Х_вх(р), находят изображение Х_вых(р) и, наконец, по изображению Х_вых(р) определяют х_вых(t) обратным преобразованием. Этот переход от изображений Х(р) к оригиналам х(t)может быть осуществлен при помощи таблиц, имеющихся в справочниках по операционному исчислению.

Применим преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению (2.22), полагая, что до приложения внешнего воздействия х_вх(t) система находилась в покое и все начальные условия равны нулю. Используя свойство линейности и правило дифференцирования (см. табл. 2.2), получим алгебраическое уравнение в изображениях:

. (2.27)

Сравнивая уравнения (2.27) с уравнением (2.23), записанным в символической форме, можно увидеть, что они полностью совпадают по структуре. Различие уравнений лишь в значении символа р: в уравнении (2.23) он обозначает операцию дифференцирования, а в уравнении (2.27) – комплексную переменную. Следовательно, для перехода от дифференциального уравнения к операторному (алгебраическому относительно изображений при нулевых начальных условиях) необходимо символы дифференцирования оригиналов функций ; ; …; заменить соответственно символами р; р²; …; рⁿ, а функции х(t) – их изображением Х(р).

Из уравнения (2.27) следует его запись в общем виде:

, (2.28)

где – собственный оператор; – оператор воздействий.

Широкое распространение операционного метода в теории автоматического управления обусловлено тем, что с его помощью определяют так называемую передаточную функцию, которая является самой компактной формой описания динамических свойств элементов и систем.

Передаточной функцией W(р) называют отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению по Лапласу входной величины при нулевых начальных условиях:

. (2.29)

Для системы, описываемой уравнением (2.28), передаточная функция W(р) равна

, (2.30)

т.е. передаточная функция равна отношению оператора воздействий К(р) к собственному оператору D(р).

Как следует из (2.29) и (2.30), передаточная функция представляет собой некоторый динамический оператор, характеризующий прохождение сигнала через линейный элемент (рис.2.6).

Рис. 2.6. Схема для определения передаточной функции

Зная передаточную функцию элемента, сложного соединения элементов или системы, можно определить изображение выходной величины по известному изображению входной:

. (2.31)

Из сопоставления уравнений (2.31) и (2.30) следует простое правило получения передаточной функции элемента или системы по их дифференциальному уравнению:

1. Производные в левой и правой частях дифференциального уравнения заменяют величиной р в степени, равной порядку производной.

2. Полученный таким образом полином правой части уравнения есть числитель передаточной функции, а полином левой части – ее знаменатель.

Приравняв полином знаменателя передаточной функции к нулю, получим характеристическое уравнение элемента или системы:

. (2.32)

Корни этого уравнения называются полюсами передаточной функции.

Тогда процедура решения дифференциального уравнения с использованием преобразования Лапласа состоит в следующем:

1. По заданному входному воздействию х_вх(t) с помощью таблиц соответствия находят изображение Х_вх(р).

2. По дифференциальному уравнению составляют передаточную функцию W(р).

3. Находят изображения выходной величины Х_вых(р) как произведение .

4. Определяют оригинал выходной величины х_вых(t), соответствующий Х_вых(р), по таблицам обратных преобразований, приведенных в справочниках по операционному исчислению.

Передаточные функции элементов системы согласно уравнениям (2.16), (2.17) и (2.25) соответственно будут

где ; ;

где ; .

Таким образом, передаточная функция элемента (системы) полностью определяет его (ее) динамические свойства, и начальная задача расчета САР сводится к определению ее передаточной функции. Для упрощения задачи нахождения передаточной функции системы целесообразно систему предварительно представить в виде структурной схемы с элементарными, желательно типовыми в динамическом отношении, элементами (звеньями).

Определив передаточные функции элементов (звеньев) автоматической системы регулирования, можно найти передаточную функцию системы в целом. Систему любой сложности можно всегда рассматривать как совокупность различных видов соединений простейших элементов: последовательного, параллельного и соединения с обратной связью.

Последовательное соединение элементов (звеньев). При последовательном соединении элементов выходная величина предыдущего элемента является входной величиной последующего (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Последовательное соединение элементов

Изображение , где – передаточная функция последовательного соединения. Имеем

;

Следовательно, .

Передаточная функция системы последовательно соединенных элементов (звеньев) равна произведению передаточных функций отдельных элементов:

. (2.33)

Если все элементы линейны и характеризуются только коэффициентами усиления k₁, k₂ и k₃ (рис. 2.6), то

т.е. общий коэффициент усиления последовательного соединения элементов равен произведению коэффициентов усиления всех элементов. Размерность общего коэффициента усиления k₀ равна произведению размерностей коэффициентов k₁, k₂, k₃.

Параллельное соединение элементов. Параллельным соединением называют соединение, в котором на вход всех элементов подается одно и то же воздействие х_вх(t), а их выходные величины (с соответствующим знаками) суммируются (рис. 2.8).

Рис. 2.8. Параллельное соединение элементов

Для соединения из трех элементов имеем передаточную функцию

(2.34)

Следовательно, передаточная функция параллельного соединения элементов равна сумме передаточных функций отдельных элементов:

Если элементы линейны и характеризуются только коэффициентами усиления k₁, k₂, k₃, то

Следовательно, общий коэффициент усиления параллельного соединения элементов равен сумме коэффициентов усиления элементов. Это возможно только в том случае, когда их размерности одинаковы. Поэтому коэффициенты усиления всех параллельно включенных элементов должны иметь одинаковую размерность.

Последовательное соединение элементов с обратной связью. В таких соединениях выходная величина какого-либо элемента подается на его вход или на вход предыдущих элементов. Такая подача выходного сигнала называется обратной связью (рис.2.8).


А	б
Рис. 2.8. Последовательное соединение элементов с обратной связью: а – с неединичной обратной связью; б – с единичной обратной связью

На рис. 2.8 представлены схемы с неединичной обратной связью (рис.2.8,а), где в обратную связь включен элемент 4 с передаточной функцией W_о.св.(р), и с единичной обратной связью (рис.2.8,б), т.е. прямое соединение, передаточная функция которого W_о.св.(р)=1. Сигнал обратной связи может быть подан на вход элемента 1 со знаком «+» или «–». Знак «+» говорит о том, что общий входной сигнал на входе элемента 1 будет представлен суммой основного сигнала х_вх и сигнала обратной связи х_о.св, т. е. входной сигнал на входе элемента 1 усиливается (положительная обратная связь), а при знаке «–» – сигнал обратной связи х_о.св. будет вычитаться из основного входного сигнала х_вх (х_вх – х_о.св), т.е. входной сигнал элемента 1 будет ослабляться (отрицательная обратная связь).

Изображение выходной величины обратной связи (элемента 4) равно

. (2.35)

Можно определить передаточную функцию замкнутой системы с обратной связью (рис.2.8а), разорвав обратную связь и заменив х_вх сигналом . Тогда в разомкнутой системе с элементами 1, 2, 3 будут происходить те же изменения, что и в замкнутой системе. Передаточная функция разомкнутой системы равна . Тогда имеем

. (2.36)

Передаточная функция замкнутой системы по определению равна

. (2.37)

Ее можно определить из (2.36)

. (2.38)

Из (2.38) следует передаточная функция замкнутой системы

. (2.39)

При единичной обратной связи и передаточная функция замкнутой системы равна

. (2.40)

Знак «–» говорит о том, что использована положительная обратная связь, а знак «+» – отрицательная обратная связь.

В системах регулирования используется всегда отрицательная обратная связь. Тогда

. (2.41)

Положительная обратная связь обычно используется в усилителях различного типа, в которых выходной сигнал х_вых(t) будет с течением времени возрастать.

В формуле (2.41) в числителе стоит передаточная функция прямой цепи элементов

, (2.42)

охваченных обратной связью.

Тогда можно дать общую формулировку:

Передаточная функция элементов, охваченных отрицательной обратной связью, равна передаточной функции прямой цепи, разделенной на единицу, плюс произведение передаточных функций прямой цепи и обратной связи.

Формула (2.41) выражает одно из фундаментальных правил теории автоматического управления.

Если система (рис. 2.8,а) состоит из линейных элементов с передаточными функциями: ; ; ; , то коэффициент усиления прямой цепи будет , а передаточная функция замкнутой системы будет равна

, (2.43)

где k_э – эквивалентный коэффициент усиления (коэффициент передачи) соединения с обратной связью. Его размерность равна размерности коэффициента усиления прямой цепи k_п. Произведение всегда безразмерно.

Из выражения (2.43) следует, что отрицательная обратная связь уменьшает эквивалентный коэффициент k_э, а положительная (в знаменателе появится знак “-”) увеличивает. Если при положительной обратной связи произведение =1, то коэффициент k_э возрастает до бесконечности (систем устойчива), а если >1, то положительная обратная связь преобразует соединение в инвертор (элемент, изменяющий знак входного сигнала) с эквивалентным коэффициентом k_э.

Отрицательная обратная связь уменьшает отклонения выходной величины, возникающие в исходной прямой цепи из-за нестабильности коэффициента k_п, в (1+) раз. Нестабильность самого коэффициента обратной связью не компенсируется.

При достаточно большом значении произведения эквивалентный коэффициент k_э практически не зависит от коэффициента k_п. Если >>1, то

. (2.44)

Это свойство широко используется при конструировании высокостабильных элементов, у которых изменяются коэффициенты усиления.

Таким образом, отрицательная обратная связь всегда уменьшает проявление нестабильности параметров линейных элементов и оказывает стабилизирующее действие на передаточные свойства прямой цепи.

Из рассмотрения одномерной системы автоматического регулирования (рис. 2.9) следует, на основании формулы (2.41), передаточная функция системы по каналу регулирующего воздействия m

, (2.45)

где М(р) и Ф(р) – изображения по Лапласу входной m(t) и выходной j(t) величин системы; , W_рег(р) – передаточные функции объекта регулирования и регулятора.

Рис. 2.9. Структурная схема системы автоматического регулирования (САР)

Регулятор является обратной связью по отношению к объекту регулирования, поэтому его называют главной отрицательной обратной связью. Для получения уравнения и передаточной функции системы регулирования необходимо знать свойства объекта регулирования (его передаточную функцию) и свойства регулятора (передаточные функции используемых законов регулирования).

Передаточные функции сложных систем. При получении передаточной функции сложных систем с множеством элементов (звеньев) и различными связями между ними основной подход к решению задачи заключается к сведению сложной структурной многоконтурной схемы к одноконтурной схеме путем замены элементов, охваченных различными связями, укрупненными эквивалентными элементами и устранению перекрестных связей в системе.

Значительно проще задача решается для систем, не имеющих перекрестных связей (рис.2.10).

Рис. 2.10. Сложная система без перекрестных связей: I, II – элементы, охваченные связями

На рис. 2.10 сложный элемент I представляет собой последовательное соединение элементов 2 и 3, которые охвачены параллельно элементом 4. Передаточная функция элемента I

Сложный элемент II представляет элемент 7, охваченный отрицательной обратной связью, в которую включен элемент 8. Передаточная функция сложного элемента II

Тогда схема системы, представленной на рис.2.10, приводится к последовательному соединению элементов 1, I, 5, охваченных отрицательной обратной связью, состоящей из элементов 6, II, 9, и передаточная функция системы будет

Сложнее определить передаточную функцию для системы с перекрестными связями. Тогда задача решается с использованием правил эквивалентного преобразования структурных схем, которые в основном сводятся к следующему (табл. 2.3):

Таблица 2.3

Правила структурных преобразований

№ п/п	Операция	Исходная схема	Преобразованная схема
	Перенос сумматора через элемент (звено) вперед
	Перенос сумматора через элемент (звено) назад
	Перенос узла разветвления через элемент (звено) вперед
	Перенос узла разветвления через элемент (звено) назад
	Перестановка узлов разветвления
	Перестановка сумматоров

1. Перенос сумматора сигналов через элемент (звено) вперед производится добавлением элемента с этой же передаточной функцией (табл. 2.3, поз. 1).

2. Перенос сумматора через элемент (звено) назад производится добавлением элемента с передаточной функцией, обратной передаточной функции элемента (табл. 2.3, поз.2).

3. Перенос узла разветвления сигнала через элемент (звено) вперед производится добавлением элемента с передаточной функцией, обратной передаточной функции элемента (табл.2.3, поз.3).

4. Перенос узла разветвления через элемент (звено) назад производится добавлением элемента с такой же передаточной функцией (табл. 2.3, поз.4).

Можно переставлять узлы разветвления и сумматоры согласно схемам (табл. 2.3, поз.5 и 6).

Пользуясь приведенными выше правилами, можно любую сложную многоконтурную систему свести к простой одноконтурной.

Например, имеем многоконтурную систему с перекрещивающимися связями (рис.2.11,а). Пользуясь правилом 3 (см. табл. 2.3), можно перенести узел разветвления с входа элемента W₃ на его выход, добавив одновременно перед звеном W₆ обратную передаточную функцию . Тогда получим схему – рис.2.11,б.

Согласно правилу 1 (см. табл.2.3) можно перенести сумматор А с входа элемента W₂ на его выход, включив последовательно с элементом W₅ элемент W₂ и поменяв по правилу 6 сумматоры А и В местами. Тогда получим одноконтурную схему (рис. 2.12), из которой определим передаточную функцию системы.

а_вх

Рис. 2.11. Структурная схема сложной системы с перекрещивающимися связями

Сложные соединения в этой схеме выделены штрихами (I и II). Их передаточные функции

;

Рис. 2.12. Преобразованная схема системы

Передаточная функция системы

После подстановки W_I(p) и W_II(p) получим