Позиционные игры с полной информацией

Позиционная игра называется игрой с полной информацией, если в любой точке любой ее партии игрок, делающий ход, точно знает, какие выборы были сделаны раньше. В графическом изображении каждый узел такой игры будет представлять собой отдельное информационное множество, и поэтому в такой игре мы не отмечаем пунктиром информационные множества.

Примерами игры с полной информацией могут служить шашки, шахматы, крестики и нолики. Большинство карточных игр не является играми с полной информацией, так как игроки не знают, какие карты были выданы другим игрокам.

Ниже мы покажем, что матрица любой игры двух игроков с нулевой суммой с полной информацией в нормальной форме имеет седловую точку, т. е. в игре с полной информацией существуют оптимальные чистые стратегии. Это означает, что в таких играх, как шашки, шахматы, крестики и нолики, у игрока существуют стратегии, придерживаясь которых он не проиграет. Другими словами, у первого игрока существует такая стратегия, придерживаясь которой он может либо выиграть, если второй игрок будет играть не лучшим образом, либо добиться ничьей, если второй игрок будет играть самым лучшим образом. Аналогичное положение и у второго игрока.

Усечением позиционной игры с полной информацией называется игра, которая получается из данной путем исключения первого хода.

Теперь сформулируем теорему 16.1 о существовании точки равновесия.

Теорема 16.1. Пусть ⁾ и — множества стратегий, имеющихся у и в игре игроков с полной информацией, и пусть А — их декартово произведение. Тогда А имеет точку равновесия.