Математический маятник

(см. Л.№17.И.6)

Система (И.6) и состоящая из нерастяжимой нити длиной ,подвешенная в точке О. С сосредоточенной массой и находящаяся в поле силы тяжести называется математическим маятником .Мы считаем эту массу материальной точкой.

Найти закон движения м.т. на И.6 если ей сообщена либо начальная скорость, либо угол отклонения ,либо начальный импульс.

В основе решения любой задачи лежит закон природы. В данном случае это второй закон Ньютона записанный для вращательного движения (1)

; (2) (3) Сила натяжения нити не создает момента т.к..

(4) Проецируем ур-е (1) (5) ; (6)

Подставляя (6) в (5) получаем:(7)

Ур-е (7) называется дифференц. Ур-ем движения математического маятникаЭто не линейное ур-е.

Для решения (7) мы рассмотрим случай малых колебаний, именно он и реализуется в часах. (8). (9)

Ф.(9) называется рядом Тейлора

; ; ;

При выполнении (8) ряд Тейлора можно оборвать на первом не нулевом члене. (10) С учетом (10) получаем (11)

Ур-е (11) называется линейным диф. Ур-ем движения математического маятника

; (12); (13);

Мы показали, что этот параметр введенный по формуле (13) имеет размерность квадрат частоты. С учетом (12) и (13) и (11) приобретает следующий вид: (14)

Это линейное дифференциальное ур-е движения математического маятника

ОЗМ:

Ур-е (14) решается стандартными методами ОДУ.-задано (15)

В теории ОДУ ур-е (14) совместно с (15) которое записывается в след. Виде: -(16) называется задачей Коши и имеет единственное решение.

Решением ур-я называется такая ф-ия , которая будучи подставлена в ур-е (14)представляет его в верное тождество

Мы покажем , что (17); -(18) является решением.

; ;

;

(19) Подставляем (19) и (17) в левую часть ур-я (14).

Мы видим, что искомое решение ур-я (14) представляет собой гармоническую ф-ию времени и периодическую.

По этой причине говорят, что система изобр.на (И.6) совершает колебания, т.е.периодические движения вокруг одной точки, которая является положением равновесия.

Величина А в законе движения (17) называется амплитудой колебаний круговая частота, начальная фаза.

Мы показали, что (20); из и.6 видно, что (21); (21) в (20), получим (22); (23); (24);; (25);

Ф.(25) дает период колебаний математического маятника. Мы вывели ее исходя из ур-я (14) и решения (17). Отметим, что Т независит от массы, а определяется только длиной нити и ускорением .