Предварительные сведения

 

Уравнение Максвелла в дифференциальной форме имеет вид:

Iпара или

 

II пара или

 

К уравнениям добавляют связи:

,

где

,

.

Под уравнением волны понимают уравнение вида , где x - смещение точки с координатами x,y,z в момент времени t.

Волна, у которой фронт волны и волновая поверхность являются плоскостями, называется плоской волной.

Её уравнение , где координатная ось X направлена по направлению распространения волны, то есть перпендикулярно волновым поверхностям.

Пусть при x = 0:

.

Тогда в произвольном значении x колебания придут с запозданием :

 

Зафиксировав фазу и продифференцировав - получим скорость, с которой перемещается данное значение фазы – фазовая скорость.

Учитывая, что , , уравнение волны примет вид:

где - волновое число.

Затухание плоской волны, как показа опыт, происходит по экспоненциальному закону

Для точечного источника амплитуда убывает с расстоянием ~1/r даже в непоглощенной среде

где r – расстояние от точечного источника.

Для волны (плоской) распространяющейся в направлении под углами к осям x, y, z уравнение волны примет вид:

где - волновой вектор

Учитывая, что , уравнение плоской волны можно записать:

где - комплексное число, называемое комплексной амплитудой, .

Уравнение любой волны является решением дифференцированного уравнения, называемого волновым.

Если продифференцировать функцию дважды по x, y, z, t, сложить производные по координатам и учесть, что , получим уравнение, которое называют волновым

- волновое уравнение

Всякая функция, удовлетворяющая уравнению этого вида, описывает некоторую волну. Корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при дает фазовую скорость этой волны.