Распределение скоростей и расход жидкости при установившемся ламинарном потоке.

 

В случае ламинарного движения вязкой жидкости в прямой трубе круглого сечения всю жидкость можно мысленно разбить на ряд кольцевых слоев, соосных с трубой (рисунок 8).

 

а б Рисунок 8 - К определению распределения скоростей и расхода жидкости при ламинарном движении

 

Вследствие действия между слоями сил трения слои будут двигаться с неодинаковыми скоростями. Центральный цилиндрический слой у оси трубы имеет максимальную скорость, но, по мере удаления от оси, скорость элементарных кольцевых слоев будет уменьшаться. Непосредственно у стенки скорость жидкости равна нулю.

Выделим в потоке жидкости, ламинарно движущемся по трубе радиусом R цилиндрический слой длиной l и радиусом r (рисунок 8 б).

Движение слоя происходит под действием разности сил давления Р₁ и Р₂ с обеих торцевых сторон цилиндра:

 

,

где р1 и р2 – гидростатические давления в сечениях 1-1 и 2-2.

 

Движению цилиндра (жидкости) оказывает сопротивление сила внутреннего трения Т:

 

,

 

Где u_r– скорость движения жидкости вдоль оси цилиндра на расстоянии rот оси;

- наружная поверхность цилиндра;

μ – вязкость жидкости.

 

Знак минус указывает на убывание скорости с увеличением радиуса r(при r=Rвеличина u_r= 0).

При установившемся движении разность сил давления Р₁-Р₂ затрачиваемая на преодоление силы трения Т, и сумма проекций всех этих сил на ось потока должна быть равна нулю. Вследствие трения движение рассматриваемого цилиндрического слоя тормозится, значит, сила трения, приложенная к его боковой поверхности, направлена противоположно разности Р₁-Р₂ и проектируется на ось, направление которой совпадает с направлением движения, со знаком минус. Следовательно:

 

,

Или

 

,

 

Откуда после сокращения и разделения переменных, получим:

 

,

 

Переходя ко всему объему жидкости в трубе, проинтегрируем это дифференциальное уравнение, учитывая, что радиус в левой части уравнения изменится от rдо r=R, а переменная скорость в правой части – от u=u_rдо u=0(у стенки, где r=R).

 

,

Тогда:

 

,

 

или

 

,

 

Скорость имеет максимальное значение на оси трубы, где r=0.

 

,

 

Скорость движения жидкости:

 

,

Последнее уравнение представляет собой закон Стокса, выражающий параболитическое распределение скоростей в сечении трубопровода при ламинарном движении.

Для определения расхода жидкости при ламинарном движении рассмотрим элементарное кольцевое сечение (рисунок 8 б) с внутренним радиусом uи внешним радиусом (r+dr), площадь которого равна

Объемный расход жидкости через это сечение составляет:

 

,

Или

 

,

 

Интегрируя последнее уравнение, получим расход жидкости через трубу:

 

,

 

Подставляя вместо R диаметр трубы d=2R и обозначая (р₁-р₂)=∆р, получаем:

 

,

 

Уравнения, определяющие расход жидкости при ее ламинарном движении по круглой прямой трубе носит название уравнения Пуазейля.

При ламинарном потоке в трубе средняя скорость жидкости равна половине скорости по оси трубы:

 

,