Дифференциальные уравнения Эйлера

 

В объеме жидкости, находящейся в покое, выделим элементарный параллелепипед объемом V с ребрами dx ,dy, dz, расположенными параллельно осям координат х, у и z.

 

Рисунок 1 – Элементарный параллелепипед

 

На выделенный объем действуют две силы – сила тяжести, направленная вниз и сила давления жидкости на грани параллелепипеда.

Сила тяжести, действующая на параллелепипед, выражается произведением его массы dm на ускорение свободного падения g, т.е. равна gdm. Сила гидростатического давления на любую из граней параллелепипеда равна произведению гидростатического давления р на площадь этой грани. Будем считать, что давление р является функцией всех трех координат:

 

,

Выяснение вида этой функции, т.е. закона распределения гидростатического давления по объему жидкости и является нашей задачей.

Согласно основному принципу статики, сумма проекций на оси координат всех сил, действующих на элементарный объем, находящийся в равновесии, равна нулю. В противном случае происходило бы перемещение жидкости.

Рассмотрим сумму проекций сил на ось z. Сила тяжести направлена вниз, параллельно оси z. Поэтому при выбранном положительном направлении оси z сила тяжести будет проектироваться на эту ось со знаком минус:

 

,

 

Сила гидростатического давления действует на нижнею грань параллелепипеда по нормали к ней, и ее проекция на ось z равна . Если изменение гидростатического давления в данной точке в направлении оси zравно , то по всей длине ребра dzоно составит . Тогда гидростатическое давление на противоположную (верхнюю) грань равно И проекция силы гидростатического давления на ось z:

 

,

 

Сумма проекций сил на ось zравна нулю, т.е.:

 

,

,

 

Или учитывая, что объем параллелепипеда (величина заведомо не равная нулю), получим:

 

,

 

Проекция сил тяжести на оси x,yравны нулю. Поэтому сумма проекций сил на ось х:

 

,

 

Откуда после раскрытия скобок и сокращения находим:

 

,

 

или

 

,

 

Соответственно для оси у:

 

,

 

или

 

,

 

Таким образом, условия равновесия элементарного параллелепипеда выражается системой уравнений, которые представляют собой дифференциальные уравнения равновесия Эйлера.:

 

- дифференциальные уравнения равновесия Эйлера

 

Интегралом этих уравнений является основное уравнение гидростатики, широко используемое в инженерной практике.