Стационарная теплопроводность в плоской и цилиндрической стенках

В стационарном режиме теплопроводности температурное поле не изменяется во времени, т.е. . В этом случае дифференциальное уравнение теплопроводности для тел простейшей формы при допущении независимости физических свойств тела от температуры принимает вид

или в дивергентной форме ,

где x₁ – координата, м; k – коэффициент формы тела. Подставляя в последнее уравнение значения коэффициента формы тела и обозначение координаты для тел простейшей формы, получим

а) бесконечная пластина или плоская стенка (k = 1, x₁ = x)

;

б) бесконечный цилиндр (k = 2, x₁ = r)

или в дивергентной форме ;

в) шар или сфера (k = 3, x₁ = r) или в дивергентной форме .

Плоская стенка

Решим дифференциальное уравнение теплопроводности для плоской стенки при следующих условиях однозначности:

— толщина стенки равна δ, м;

— коэффициент теплопроводности стенки не зависит от температуры и равен λ Вт/(м·К);

— внутренние источники (стоки) теплоты в стенке отсутствуют, т.е. ;

— на обеих поверхностях плоской стенки задано значение температуры (ГУ I рода)

Рис.2.4. Стационарное температурное поле в плоской стенке

Решение дифференциального уравнения для бесконечной пластины выполним двойным интегрированием:

откуда следует .

И окончательно получаем общее решение температурного поля в виде

из анализа, которого следует, что в плоской стенке при стационарном режиме теплопроводности температура линейно изменяется по ее толщине (см. рис.2.4.).

Постоянные интегрирования находим, используя граничные условия путем решения системы из двух линейных уравнений

Из первого уравнения следует, что , а из второго уравнения системы находим постоянную

Подставляя значение постоянных интегрирования в общее решение, окончательно получаем

Зная температурное поле, несложно рассчитать плотность теплового потока в плоской стенке, воспользовавшись законом Фурье

или ,

где – тепловая проводимость плоской стенки, Вт/(м²×К); – термическое сопротивление теплопроводности плоской стенки, (м²×К)/Вт.

Из анализа формулы для расчета плотности теплового потока следует, что тепловой поток не изменяется по толщине плоской стенки или в любой точке плоской стенки. Поэтому для любого i-го слоя многослойной стенки можно записать

где – перепад температур на i-ом слое многослойной стенки;– термическое сопротивление теплопроводности i-го слоя многослойной стенки.

Из последнего выражения следует, что перепад температур на каждом слое многослойной стенки прямо пропорционален термическому сопротивлению этого слоя

Плотность теплового потока для плоской стенки, состоящей из n слоев, рассчитывается по формуле:

Цилиндрическая стенка

Решим дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндрической стенки при следующих условиях однозначности:

— внутренний и наружный радиусы цилиндрической стенки равны r₁и r₂ ,м;

— коэффициент теплопроводности стенки не зависит от температуры и равен λ Вт/(м·К);

— внутренние источники (стоки) теплоты в стенке отсутствуют, т.е. ;

— на обеих поверхностях цилиндрической стенки задано значение температуры (ГУ I рода)

Решение дифференциального уравнения для бесконечного цилиндра выполним двойным интегрированием. Для этого воспользуемся записью дифференциального уравнения теплопроводности в дивергентной форме

, т.к.

Разделяя переменные и интегрируя второй раз, получим общее решение температурного поля

из анализа, которого следует, что в цилиндрической стенке при стационарном режиме теплопроводности изменение температуры по ее толщине подчиняется логарифмическому закону (см. рис. 2.5.).

Предоставляя читателю самостоятельно решить вышеуказанную систему алгебраических уравнений, приведем формулу изменения температурного поля в цилиндрической стенке

Рис.2.5. Стационарное температурное поле в цилиндрической стенке

Тепловой поток, проходящий через цилиндрическую стенку длиной , рассчитаем по закону Фурье

Из анализа последней формулы следует, что тепловой поток не изменяется по толщине цилиндрической стенки . В расчетах теплопроводности через цилиндрическую стенку используют тепловой поток, отнесенный к длине цилиндрической стенки – линейную плотность теплового потока

,(м×К)/Вт,

где – линейное термическое сопротивление теплопроводности цилиндрической стенки.

В общем случае для любого слоя i – го многослойной цилиндрической стенки можем записать

откуда следует, что