Алгоритм Брезенхема

Алгоритм выбирает оптимальные растровые координаты для представления отрезка. В процессе работы одна из координат - либо х , либо у (в зависимости от углового коэффициента) - изменяется на единицу. Изменение другой координаты (либо на нуль, либо на единицу) зависит от расстояния между действительным положением отрезка и ближайшими координатами сетки. Такое расстояние мы назовем ошибкой Е.

Рис.: Алгоритм Брезенхема генерации отрезков

Алгоритм построен так, что требуется проверять лишь знак этой ошибки. На рисунке это иллюстрируется для отрезка в первом октанте, т. е. для отрезка с угловым коэффициентом, лежащим в диапазоне от нуля до единицы.

Из рисунка можно заметить, что если угловой коэффициент отрезка из точки (0, 0) больше чем 1/2, то его пересечение с прямой х=1 будет расположено ближе к прямой у=1, чем к прямой у = 0. Следовательно, точка растра (1, 1) лучше аппроксимирует ход отрезка, чем точка (1,0). Если угловой коэффициент меньше 1/2, то верно обратное. Для углового коэффициента, равного 1/2, нет какого-либо предпочтительного выбора. В данном случае алгоритм выбирает точку (1, 1).

Не все отрезки проходят через точки растра. Подобная ситуация иллюстрируется на следующем рисунке, где отрезок с тангенсом угла наклона 3/8 сначала проходит через точку растра (0, 0) и последовательно пересекает три пикселя. Также иллюстрируется вычисление ошибки при представлении отрезка дискретными пикселями. Так как желательно проверять только знак ошибки, то она первоначально устанавливается равной -1/2. Рис. График ошибки в алгоритме Брезенхем

Таким образом, если угловой коэффициент отрезка больше или равен 1/2, то величина ошибки в следующей точке растра с координатами (1, 0) может быть вычислена как

e=e+m где m — угловой коэффициент. В нашем случае при начальном значении ошибки -1/2

e=-1/2 + 3/8=-1/8

Так как e отрицательно, отрезок пройдет ниже середины пикселя. Следовательно, пиксель на том же самом горизонтальном уровне лучше аппроксимирует положение отрезка, поэтому у не увеличивается. Аналогично вычисляем ошибку

е= -1/8 + 3/8 = 1/4

в следующей точке растра (2, 0). Теперь е положительно, а значит, отрезок пройдет выше средней точки. Растровый элемент (2, 1) со следующей по величине координатой у лучше аппроксимирует положение отрезка. Следовательно, у увеличивается на единицу. Прежде чем рассматривать следующий пиксел, необходимо откорректировать ошибку вычитанием из нее единицы. Имеем

е = 1/4 - 1 = -3/4

Заметим, что пересечение вертикальной прямой х-2 с заданным отрезком лежит на 1/4 ниже прямой у= 1. Если же перенести отрезок 1/2 вниз, мы получим как раз величину -3/4. Продолжение вычислений для следующего пиксела дает

е= -3/4 + 3/8 = -3/8

Так как е отрицательно, то у не увеличивается. Из всего сказанного следует, что ошибка - это интервал, отсекаемый по оси у рассматриваемым отрезком в каждом растровом элементе (относительно - 1/2).