Вихревая система крыла конечного размаха.

Рассмотрим обте­кание прямоугольного крыла, расположенного под углом атаки к однородному горизонтальному потоку, имеющему невозмущенную скорость на бесконечности . Будем считать, что угол атаки из­меряется от горизонтальной плоскости. Подъемная сила создается за счет избыточного давления на нижней поверхности крыла (Ср>0) и разрежения на его верхней поверхности (Ср<0). Это оз­начает, что средняя скорость потока на нижней поверхности крыла меньше, чем средняя скорость на верхней поверхности.

Рис.5.11 Перетекание через боковые кромки

Указанная разность скоростей может быть следствием существования циркуляции соответствующего знака. Пере­пад давления вызывает перетекание жид­кости с нижней поверхности крыла на верхнюю через боковые кромки (рис.5.11). Вследствие этого линии тока на верхней поверхности крыла будут сходящимися (рис. 5. 12), а на нижней —

 

Рис.5.12 Рис.5.13

расходящимися (рис. 5.13). Ввиду малой относительной толщины профилей крыла течение можно рассматривать как течение около тонкой пластины. На верхней и нижней поверх­ностях пластины скорости будут находиться в параллельных плос­костях и отличаться главным образом по значению и частично по направлению, т. е. будет наблюдаться разрыв тангенциальной составляющей скорости, что соответствует вихревому слою. Этот вихревой слой, генерирующий перепад давления, называется присоединенным. На задней кромке крыла по условию Жуков­ского— Чаплыгина скорости сверху и снизу должны быть равны, а перепад давления отсутствовать. В то же время (рис.5.12 и 5.13) скорости частиц при сходе с крыла будут отличаться по направлению.

Это означает, что за задней кромкой крыла возни­кает вихревая пелена, не испытывающая перепада давления. Она получила название свободного вихревого слоя или пеле­ны свободных вихрей. Свободные вихри располагаются вдоль ли­ний тока, так как они не несут нагрузки. Свободный вихревой слой простирается вниз по потоку.

У крыльев большого удлинения свободный вихревой слой в ос­новном

 

Рис.5.14 Вихревая пелена

располагается в горизонтальной плоскости. Однако на бо­ковых границах его наблюда­ется сворачивание вихревой пе­лены в концентрированные вихревые жгуты (рис.5.14). Итак, математическая мо­дель течения при обтекании крыла содержит известный по­ступательный поток , и не­известное течение от системы вихревых поверхностей, харак­теризующихся распределенной завихренностью. Для количе­ственного описания этого те­чения существует много подходов. В большинстве случаев исполь­зуется линейная теория, пригодная при малых углах атаки. Кры­ло считается бесконечно тонким и проектируется на горизонталь­ную плоскость. Ввиду малости угла атаки площадь крыла S прак­тически не будет отличаться от площади проекции.

Составим интегральное уравнение для крыла конечного удлинения, используя граничное условие непротекания, а также постулат Жуковского-Чаплыгина на задней кромке, опираясь на потенциал ускорения:

(5.8)

Так как - гармоническая функция, когда возмущения малы и течение стационарно получим, что :

, (5.9)

т.е. потенциал ускорения должен быть гармонической функцией.

Выразим решение этого уравнения с помощью третьей формулы Грина и перейдем к :

(5.10)

Обращаясь теперь к условию непротекания, получим интегральное уравнение для нахождения :

(5.11)

Поведение решения этого уравнения существенно зависит от формы крыла в плане. Если очертания крыла содержат изломы (например, при отклонении рулевых органов), то и в этих местах возникают особенности.

Среди прикладных численных методов можно выделить две мо­дели: непрерывной несущей поверхности и дискретных панелей.

В первом случае искомое решение находят в виде двойного ряда, аппроксимирующего нагрузку на крыле по хорде и размаху. Коэффициенты этого ряда находятся из условий непротекания в определенном числе точек, называемых в этом случае точками коллокаций. Если ряды выбраны удачно, то число точек коллокаций невелико, так же как и число членов в рядах.

При методе дискретных панелей область интегрирования раз­бивается на ряд панелей, на каждой из которых задается некото­рый закон поведения искомой функции. Тогда интеграл в (5.11) заменяется конечной суммой, и задача сво­дится к решению системы алгебраических уравнений. Этот подход получил наименование метода дипольной решетки.

Основное интегральное уравнение несущей поверхности (5.11) можно получить, опираясь также на образ подковообразного вих­ря (рис.5.15), полочка ко­торого (присоединенный вихрь) перпендикулярна скорости набегающего по­тока, а свободные вихри уходят в бесконечность.

 

Рис.5.15 Рис.5.16

Для того чтобы не противоречить теореме Стокса о непрерывности вихревых нитей, нужно предположить существование на бесконеч­ности вниз по потоку замыкающей полочки. Однако влиянием ее на характер обтекания крыла можно пренебречь. Непрерывная система таких вихрей дает скос потока в произвольной точке крыла:

(5.12)

Выражение в квадратных скобках показывает влияние свободных вихрей. Последующие преобразования приводят к уравнению (5 .11).