Плоское (двухосное) напряженное состояние.
|
|
|
С учетом этих преобразований , .
Тогда (4.6)
(4.7)
Напряжения на площадке, перпендикулярной к рассмотренной, найдем по формулам (4.3), (4.4) учитывая, что угол между напряжением σ1 и нормалью nβ равен , а между
напряжением σ2 и этой же нормалью – α.
(4.8)
(4.9)
При сложении выражений (4.6) и (4.8) подтверждается положение, что сумма нормальных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках – величина постоянная,
т. е. .
Для определения наибольшего и наименьшего значения нормального напряжения вычислим первую производную от sa по a выражения (4.6) и приравняем ее к нулю:
. (4.10)
Уравнение (4.10) удовлетворяется при a=0° и a=90°. Согласно (4.6) при a=0°, а при a=90° . В обоих этих случаях ta=0, следовательно, нормальные напряжения s1 и s2 принимают экстремальные значения на главных площадках.
Наибольшее значение касательных напряжений, как следует из формулы (4.7), будут при a = 45°, т.е.,: (4.11)