Влияние размеров реактора на Кэф.

От чего зависит утечка нейтронов? Прежде всего, от размеров реактора. Если реактор очень маленьких размеров, то вероятность вылета из него нейтронов велика. А если представить, что разме­ры реактора неограниченно возрастают, то в пределе, когда он гипотетически заполнит все пространство, нейтронам улетать бу­дет некуда - утечка нейтронов будет равна нулю. Значение К_эффтогда становится равным просто Р/П. Эту величину обозначают как k_∞ («ка бесконечное»). Теоретически ею определяется прин­ципиальная возможность создания реактора из материала, пред­назначенного для устройства активной зоны. Если k_∞<1, то реак­тор сделать нельзя. Естественно, при k_∞≠0 в составе такой реак­торной среды будут делящиеся нуклиды, но это будет всего лишь подкритическая сборка. При k_∞=1 реактор может быть критиче­ским только при отсутствии утечки нейтронов, т.е. при бесконеч­ных размерах. Поэтому можно утверждать, что в настоящем дей­ствующем реакторе обязательно k_∞ >1, а К_эфф< k_∞.

Итак, если k_∞<1, то в каждую секунду нейтронов рождается меньше, чем поглощается, т.е. нет даже условия работы на посто­янной мощности. Если запустить в такую размножающую среду (даже бесконечно большую по размерам) некоторую порцию ней­тронов от какого-нибудь внешнего источника, то цепная реакция возбудится, но через какое-то время все равно количество нейтро­нов в среде обратится в нуль - процесс воспроизводства нейтро­нов в цепной реакции будет затухающим. Чтобы возможно было сделать реактор, нужно в этом случае или поднимать концентра­цию делящихся нуклидов (например, перейти на более обогащен­ный уран), или снижать концентрацию поглотителей (например, стали), или вообще менять весь состав среды.

Для определенности возьмем элементарный сферический (го­лый) реактор радиусом R₀ - самое простое однородное по составу геометрическое тело. Пусть в этом реакторе

P(R₀) = P₀; П(R₀)=П₀; У(R₀)=У₀ (1.2)

Будем изменять радиус реактора и наблюдать, как меняется каждая из скоростей - рождения, поглощения и утечки. Рассмот­рим сначала зависимость от радиуса скорости рождения P(R). Из­вестно, что если шар радиусом R увеличивается, то объем тара (равный 4πR³/3) увеличивается как радиус в кубе. Значит при прочих равных условиях (если в единице объема реакторной сре­ды рождается в среднем одно и то же количество нейтронов) уве­личение радиуса реактора в 2 раза влечет увеличение скорости рождения нейтронов во всем объеме в 8 раз. Напишем этот закон в общей форме:

P(R) = P₀ (R/R₀)³ (1.3)

То же самое верно и по отношению к скорости поглощения нейтронов:

П(R) = П₀ (R/R₀)³ (1.4)

потому что поглощение нейтронов тоже происходит во всем объ­еме реактора, т.е. скорость поглощения пропорциональна объему. Но применить этот же закон к скорости утечки нейтронов уже нельзя, потому что утечка нейтронов происходит через поверх­ность реактора. Поверхность шара меняется как квадрат радиуса (площадь поверхности равна 4лR²), значит будем иметь

У(R) = У₀ (R/R₀)² (1.5)

Теперь подставим написанные нами выражения в формулу для К_эфф при R≠Ro.

Умножив числитель и знаменатель на выражение такого вида:

(R₀/R)³получим выражение такого вида:

(1.6)

где р_о- скорость рождения в исходном реакторе, П₀ - скорость поглощения в исходном реакторе, У₀ - скорость утечки в исход­ном реакторе. Формула (1.6) дает наглядную качественную зави­симость эффективного коэффициента размножения нейтронов от размера реактора. Какие выводы можно сделать из этой формулы? Рассмотрим, как это обычно делается, предельные случаи.

Допустим, что R→0, т.е. реактор стягивается в точку. Понят­но, что чем меньше радиус реактора, тем относительная утечка будет больше. Если реактор в пределе будет ничтожно мал, то ни один рожденный нейтрон внутри не останется. Формально будем иметь R→0, Ro/R→∞ и К_эфф →0.

В другом случае, когда R→∞, отношение поверхности к объ­ему становится все меньше и меньше. И наконец, когда реактор­ная среда в пределе заполнит все пространство, утечки просто не будет. Формально в этом случае Ro/R=0 и коэффициент К_эффста­новится равным коэффициенту размножения в бесконечной среде, т.е. при R→∞, К_эфф= К_∞.

Теперь нужно заметить для строгости, что в бесконечной сре­де скорости процессов рождения и поглощения нейтронов во всем объеме среды формально не имеют смысла, но можно говорить об их отношении в единичном объеме или в любой ограниченной области конечных размеров. В дальнейшем, не меняя введенных обозначений, мы будем понимать под скоростью процессов именно их скорость в единице объема, т.е. количество элементарных актов в одну секунду в 1 см³.

Введем теперь понятие критического радиуса реактора и вы­ведем для него формулу из соотношения (1.6). Критический ради­ус - это такой радиус реактора, при котором эффективный коэф­фициент размножения нейтронов становится равным единице. Подставив в выражение (1.6) К_эфф=1, получим уравнение

(1.7)

из которого следует, что

(1.8)

Формула (1.8) позволяет непосредственно видеть, как крити­ческий радиус связан со скоростью рождения, скоростью утечки и скоростью поглощения нейтронов. Из формулы видно, что если отношение скорости утечки нейтронов У₀ к скорости их воспро­изводства Р₀-П₀ в нашем исходном реакторе больше единицы, то R_кр>R₀, т.е. для достижения критичности радиус реактора нужно увеличить. Наоборот, радиус R₀ нужно (или можно) уменьшить, если это отношение меньше единицы.

Рассмотрим воображаемую ситуацию: пусть нужно сделать реактор из какой-то размножающей среды с конкретным соста­вом. Пока нет размеров будущего реактора, можем расчетным пу­тем определить скорости Р₀ и П₀ в единице объема этой среды, скажем, при какой-то условно принятой плотности нейтронов. Абсолютный уровень плотности нейтронов в этом расчете не иг­рает роли. Не исключено, что можем получить (Ро-По)=0 или даже (Р₀-По)<0. Это значит, что в первом случае К_∞=1, а во втором - К_∞<1. Тогда, соответственно, или R_кр=∞, или критиче­ский радиус вообще не существует, т.е. из такой среды реактор сделать нельзя.