Метод наименьших квадратов.
Для решения используем следующую таблицу.
| Годы | Иполь-зовние ВВП, трлн. руб. Уф | Условное обо-значение времени Х | Уф*Х | Х^2 | Ур | Расчет средней относительной ошибки / Уф - Ур/ Уф * 100 |
| 19,6 101,0 171,5 348,6 493,2 610,7 701,3 875,4 | 19,6 202,0 514,5 1394,4 2466,0 3664,2 4909,1 7003,2 | -20,6 103,9 228,4 352,9 477,4 601,9 726,4 850,9 | 2,05 2,87 33,17 1,23 3,20 1,44 3,58 2,8 | |||
| Итого | 3321,3 | 50,32 | ||||
| прогноз | 975,4 1099,9 |
Определим условное обозначение времени как последовательную нумерацию периодов базы прогноза. Рассчитаем графы 4 и 5.
Уропределим по формуле 4, а коэффициенты a и b по формулам 5 ,6.
20173 - (36 * 3321,3) / 8
a = 204 - 36^2 / 8 = 124,5
b = 3321,3/8 – 124,5*36/8 = - 145,1
У1992 = 124,5*1 – 145,1 = -20,6
У1993 = 124,5*2 – 145,1 = 103,9 и т.д.
Заносим полученные результаты в таблицу. Определяем прогнозное значение.
У 2000 = 124,5*9 – 145,1 = 975,4
У 2001 = 124,5*10 – 145,1 = 1099,9
Рассчитываем среднюю относительную ошибку (см. формулу 10)
ε = 50,32/8= 6,29%
Сравните полученные результаты по прогнозам разработанным различными методами и средней относительной ошибке. Сделайте вывод какой метод позволил получить более достоверные результаты
Задание 2.
В таблице представлен объем продаж товара А в городе.
Постройте график исходных данных и определите наличие сезонных колебаний.
Постройте прогноз объема продажи товара А в городе на 2002 гг. с разбивкой по кварталам.
Рассчитайте среднюю относительную ошибку прогноза.
Решение.
1. Представим исходные данные графически. По оси Х отложим параметр времени (годы и кварталы), а по оси У объем продаж. Определим наличие сезонных колебаний.
2. Составим таблицу (см. ниже).
3. 4-х квартальные суммы рассчитываются суммированием Уф за четыре рядом стоящие квартала.
42,2+55,4+64,8+63,4 = 225,8
55,4+64,8+63,4+48,1 = 231,7 и т.д.
4-х квартальные средние = 4-х квартальные суммы/4 = 225,8/4 =56,45; 231,7/4 = 57,93. В таблице они ставятся в средину суммируемых кварталов.
Центрированные средние рассчитываются как сумма двух 4-х квартальных средних деленная на 2, например
(56,45 + 57,93) / 2 = 57,19; (57,93 + 58,50) / 2 = 58,2 и т.д.
4. Определяем показатели сезонности.
Псезон= Уф / Центр.средние * 100 (или графа 3/на графу 6 * 100).
Так, для 3 квартала 1999 г. Псезон= 64,8 / 57,19 * 100 = 113,31
Для 4 квартала 1999 г. Псезон = 63,4 / 58,21 * 100 = 108,91 и т.д.
Определим индексы сезонности для каждого квартала ( I j ) . Для расчета берутся показатели сезонности, суммируются по квартально и делятся на количество суммированных значений.
Для 1 квартала I 1 = (81,4 + 77,3) /2 = 79,35
Для 2 квартала I 2= (95,8 + 98,8) /2 = 97,3
Для 3 квартала I 3= (113,3 + 115,2) /2 = 114,25
Для 4 квартала I 4= (108,9 + 110,5) /2 = 109,7
6. Определяем в таблице графы 8,9,10.
 |
7. Ур = a * X + b , коэффициенты a и b рассчитываются по формулам 5 и 6.
| Год | Квартал | Объем продаж млн.руб Уф | Показатели сезонности | Условное обозначе ние вре мени, Х | Х^2 | Уф*Х | Ур | Расчет средней относи тельной ошибки | |||
| 4-квар- таль- ные суммы | 4-квар- таль- ные средние | Центри рован- ные средние | Показатели сезон ности | ||||||||
| 42,2 55,4 64,8 63,4 48,1 57,7 69,7 67,1 | - - - 225,8 231,7 238,9 242,6 | - 56,45 57,93 58,5 59,73 60,7 60,4 | - - 57,19 58,2 59,1 60,2 60,5 60,7 | - - 113,3 108,9 81,4 95,1 115,2 110,5 | 42,2 110,8 194,4 253,6 240,5 346,2 487,9 536,8 | 52,88 54,01 55,15 56,28 57,41 58,54 59,67 60,81 | 25,31 2,51 14,89 11,23 19,36 1,46 14,39 9,37 |
Продолжение таблицы
| 47,1 59,9 69,7 64,2 | 241,6 243,8 243,8 240,9 | 60,9 60,9 60,22 - | 60,9 60,6 - - | 77,3 98,8 - - | 423,9 599,0 766,7 770,4 | 61,94 63,07 64,2 65,33 | 31,51 5,29 7,89 1,76 | ||||
| Итого | 709,3 | - | - | - | - | 4772,4 | - | 144,97 | |||
| прог ноз | 52,74 65,77 78,52 76,64 |
b = 709,3/12 –1,132*78/12 = 51,75
Рассчитываем Ур и вносим полученные результаты в таблицу.
8. Строим прогноз на 2002 г. с разбивкой по кварталам.
Уt+1 = (a * Х + b) * I j/100
У1 = (1,132*13+51,75)*79,35/100= 52,74
У2 = (1,132*14+51,75)*97,3/100= 65,77
У3 = (1,132*15+51,75)*114,25/100= 78,52
У4 = (1,132*16+51,75)*109,7/100= 76,64
Заносим результаты прогноза в таблицу.
Наносим полученные данные на график, продолжая линию.
9. Средняя относительная ошибка.
Сумма значений в графе 12/на количество периодов базы прогноза 144,97/12 = 12,08 %.
Варианты контрольных работ
Вариант 1.
Задание 1. Имеются данные численности наличного населения города Х за 1999-2007 гг. (на начало года), тыс. чел.
| 118,6 | 117,9 | 117,7 | 117,4 |
1. Постройте прогноз численности наличного населения города Х на 2008-2009 гг., используя методы: скользящей средней, экспоненциального сглаживания, наименьших квадратов.
2. Постройте график фактического и расчетных показателей.
3. Рассчитайте ошибки полученных прогнозов при использовании каждого метода.
4. Сравни