Равновесие жидкости в поле силы тяжести и силы инерции (относительный покой)
Пусть жидкость налита в сосуд, вращающийся с постоянной угловой скоростьюω вокруг вертикальной оси.
Благодаря силам трения, возникающим при движении стенки вращающегося сосуда, будут увлекать за собой жидкость и по истечении некоторого времени вся жидкость будет вращаться вместе с сосудом с той же угловой скоростью ω, находясь по отношению к стенкам в покое.
В данном случае объемная сила F, действующая на единицу массы жидкости, состоят из двух сил: силы тяжести g и центробежной силы инерции ω2r.
Тогда проекции объемной силы на оси координат будут равны:
X=ω2rcos£
Y=ω2rsin£
Z= -g
Имея в виду, что r cos £=x, r sin £= y
Будем иметь:
X=ω2x,
Y=ω2y,
Z=-g.
Подставив значения ускорения в уравнение Эйлера, получим
Проинтегрировав это уравнение, получим
Зная, что x2+y2=r2, получим
Р=ρ ω2r2\2 – γz+ C
Константу С находим из условия r=0, z =z0'
P0=γz0' + С, откуда С=Р0+γz0', где Р0=Рат=0
Тогда
Р= ρ ω2 r2\2 – γ(z – z0)
Найдем уравнение свободной поверхности.
В этом случае Р=Р0=Ратм
γ( Z0-Z0') =ρ ω2 r2|2
(Z0-Z0')=h= ω2r2\2g
Из уравнения следует, что свободная поверхность жидкости, представляет собой параболоид вращения.