Метод эквивалентных преобразований

Преобразования называются эквивалентными, если при замене одного участка цепи другим, более простым, токи и напряжения участка цепи, который не был преобразован, не изменяются.

При расчете электрических схем часто возникает целесообразность преобразования схем этих цепей в более простые и удобные для расчета.

Одним из основных видов преобразования электрических схем, применяемых на практике, является преобразование схемы со смешанным соединением элементов. Смешанное соединение элементов представляет собой сочетание более простых соединений – последовательного и параллельного.

Последовательное соединение

Последовательное соединение элементов цепи – соединение нескольких элементов, через которые проходит один и тот же ток.

Рисунок 3.1 Схемы последовательного соединения резисторов и индуктивностей

 

В соответствии с принципом эквивалентного преобразования и законом Ома имеем:

; .

Параллельное соединение элементов

Параллельное соединение элементов – соединение нескольких элементов, при котором все эти элементы находятся под одним и тем же напряжением.

Рисунок 3. 2 Схема параллельного соединения сопротивлений

 

 

Имеем:

; .

 

 

Рассмотрим параллельное соединение двух сопротивлений. В соответствии с для участка цепи с , (на вышеприведенном рисунке), . Поскольку

, , , то:

.

Найдем ток в каждой из параллельных ветвей , если известен общий ток и значения сопротивлений . По закону Ома ; . Тогда:

.

Полученное выражение является формулой распределения токов: ток в одной из параллельных ветвей равен общему току, умноженному на сопротивление противоположной ветви и поделенному на сумму сопротивлений обеих ветвей.

 

 

Рисунок 3.3 Схема параллельно-последовательного соединения сопротивлений

Эквивалентное преобразование треугольника сопротивлений в звезду и обратно.

Если известны сопротивления , которые образуют между узлами треугольник сопротивлений, то для расчета сопротивлений , которые соединены в эквивалентную звезду между теми же самыми узлами, используют формулы:

; ; . (3.5)

а) б)

Рисунок 3.4 Схемы соединения сопротивлений треугольником (а) и звездой (б)

 

Обратное преобразование осуществляется при помощи формул:

; ; (3.6)

Эквивалентные преобразования схем с источниками.

Закон Ома для участка цепи с источником.

Рассмотрим понятие одноконтурной и двухузловой схем.

Эти схемы характерны тем, что имеют один контур (рисунок 3.5) и один независимый контур (рисунок 3.6) соответственно.

Рисунок 3.5 Одноконтурная схема Рисунок 3.6 Двухузловая схема

 

Найдем ток в первой схеме. Обозначим напряжение между точками и : . Тогда для двух условных контуров получим два уравнения:

;

Из первого уравнения получаем закон Ома для участка цепи с источником напряжения:

Реальные источники электрической энергии и их эквивалентные схемы.

Реальный источник напряжения – активный элемент, который можно представить в виде идеального источника напряжения и последовательно соединенного с ним пассивного элемента , (внутреннего сопротивления), которое учитывает потери энергии в источнике (рисунок 3.7).

 

Рисунок 3.7 Схема реального источника напряжения

 

По закону Кирхгофа можно записать , откуда получаем выражение для вольт - амперной характеристики реального источника напряжения: .

Штриховой линией показана ВАХ идеального источника напряжения: .

 

Рисунок 3.8 Вольт-амперная характеристика реального источника напряжения

 

Выясним, при каких условиях реальный источник приближается к идеальному. Найдем напряжение на зажимах реального источника, к которому подключается сопротивление нагрузки ( рисунок 3.7 )

 

(3.7)

Из уравнения 3.7 видно, что источник напряжения можно рассматривать как идеальный , если выполняется условие .

Реальный источник тока – активный двухполюсник, который состоит из идеального источника тока и параллельного включенного с ним пассивного элемента , который учитывает потери (рисунок 3.9).

 

Рисунок 3.9 Схема реального источника тока

В соответствии с первым законом Кирхгофа можно записать:

.

Это выражение описывает ВАХ реального источника тока (рисунок 3.10). Штриховой линией показана ВАХ идеального источника тока:

.

 

Рисунок 3.10 Вольт-амперная характеристика реального источника тока

 

Найдем ток в сопротивлении нагрузки, которая подключена к реальному источнику тока ( рисунок ). По формуле разложения токов

 

. ( 3.8)

Исходя из формулы (3.8), реальный источник тока приближается к идеальному при условии R_i >> R_H.

Некоторые схемы реальных источников напряжения (рисунок 3.7) и тока (рисунок 3.9) эквивалентны. Выясним, при каких условиях? В соответствии с принципом эквивалентных преобразований, напряжение во внешней цепи (т.е. на опорной нагрузке) не может измениться при переходе от схемы (рисунок 3.7) к схеме (рисунок 3.9): U = U`.

Для первой схемы:

,

Для второй:

,

если U=U`, то

. (3.9)

Итак, схемы реальных источников напряжения и тока эквивалентны, если выполняются условия (3.9).

 

Методические рекомендации.

После изучения подразделов 3.1 и 3.2 дайте письменные ответы на контрольные вопросы, приведенные ниже.