Аналитическое конструирование регуляторов по принципу максимума

Рассмотрим решение задачи АКР с помощью принципа максимума Понтрягина. Пусть линейный нестационарный объект описывается уравнением состояния (8.1)

.

Необходимо определить оптимальное управление, для которого критерий качества имеет вид (8.5):

.

Согласно методике решения задач по принципу максимума (см. п.6.1) введём новую переменную

, (8.36)

удовлетворяющую условию , и переменную , определяемую выражением (6.3) .

В соответствии с общей идеологией метода поиск решения начинаем с составления функции Гамильтона (6.21) для модифицированного вектора :

, (8.37)

где ; .

Компоненты , , функции можно найти из уравнений (6.4), (8.1) и (6.3) соответственно.

В результате подстановки (8.36) в (6.4) получим

(8.38)

при условии , где - начальное состояние объекта.

Для линейного нестационарного объекта (8.1) . В дальнейшем для компактности не будем записывать зависимость от времени . Тогда

. (8.39)

С учётом (8.39) и (8.1) функцию Гамильтона (8.37) перепишем следующим образом

. (8.40)

Так как на управление ограничений не наложено, то оптимальное управление находится из условия , которое можно записать в развёрнутой форме

; (8.41)

.

Откуда следует, что

. (8.42)

Таким образом, для определения оптимального управления необходимо знать переменные и . Как отмечалось в п.6.3 компоненты вектора можно найти из системы сопряженных уравнений (6.26):

.

, так как , и согласно (6.4), (6.1) и (6.3) не зависят от переменной , а является функцией от переменных , и .

, .

.

Из первого уравнения следует, что

Используя граничное условие (6.15) , получаем, что . Так как , то , следовательно, последнее слагаемое во втором и третьем уравнениях тоже равно нулю. Учитывая, что в выражении для оптимального управления (8.42), кроме , присутствует вектор с компонентами, то для определения компонент , достаточно уравнений. Тогда систему сопряженных уравнений можно записать в виде:

,

или в векторной форме

. (8.43)

Найдем первое и второе слагаемые (8.43) с учётом (8.39):

.

Из (8.1) следует, что .

Тогда сопряженная система примет вид:

, (8.44)

где , так как .

Для линейного объекта связь между и также должна быть линейной. Для этого введём пока не известную матрицу и запишем, что

. (8.45)

С учётом (8.45) оптимальное управление , а систему (8.44) перепишем в форме:

, (8.46)

где можно определить из уравнения состояния (8.1):

. (8.47)

В результате подстановки выражения (8.47) в (8.46), получим:

.

Откуда следует, что

.

В результате получаем, что

(8.48)

Полученное уравнение (8.48) с точностью до знаков совпадает с уравнением Риккати (8.34).

Поскольку для задачи со свободным правым концом траектории и фиксированным временем , то, согласно (8.45) , получаем граничное условие

. (8.49)

В итоге, выражение для оптимального управления примет вид:

,

где определяется из уравнения Риккати (8.48) при граничном условии (8.49).