Оптимальное управление объектом второго порядка

В качестве примера рассмотрим задачу управления одномерным объектом второго порядка. Пусть объект управления описывается уравнениями состояния

; ; . (7.13)

При сравнении (7.13) с (7.6) видно, что , ; ; ; .

Подставив коэффициенты и в (7.11) и (7.12), получим выражение для оптимального управления

, (7.14)

и уравнение Гамильтона-Якоби

. (7.15)

Из (7.14) следует, что оптимальное управление может принимать одно из двух значений: либо , либо . Тогда уравнение (7.15) можно представить в виде двух уравнений:

при и ; (7.16)

при и ; (7.17)

Выберем (единичный импульс на рис. 7.2).

Решениями уравнений (7.16) и (7.17) соответственно при граничных условиях (7.13) являются функции*

; . (7.18)

Подставив полученные выражения (7.18) в (7.14), получим выражение для оптимального управления.

 

 

*Подробное решение уравнений (7.16), (7.17) приведено в приложении Б

Каждое из соотношений (7.18) в отдельности не является решением уравнения Гамильтона-Якоби (7.15). Однако в фазовом пространстве с переменными и существуют области значений этих переменных, в каждой из которых одно из выражений (7.18) будет представлять решение уравнения (7.15). Найдём эти области. Для этого подставим полученное в (7.18) время в уравнение Гамильтона-Якоби (7.15)

;

;

;

. (7.19)

Так как второе слагаемое в (7.19) всегда ≥0, то первое слагаемое должно быть ≤0, т.е.

или . (7.20)

Рассмотрим это условие в двух случаях, когда и .

В случае возведём (7.20) в квадрат:

или . (7.21)

В случае условие (7.20) выполняется, если выражение под корнем неотрицательно, т.е.

или . (7.22)

Сравнивая (7.21) и (7.22), можно записать, что

. (7.23)

Выражение (7.23) получено, если .

При и , не удовлетворяющих (7.23), . Следовательно, , если

. (7.24)

Из (7.23), (7.24) видно, что граница раздела между областями и описывается соотношением

(7.25)

и называется линей переключения.

Неравенства (7.23) и (7.24) формируют окончательный алгоритм работы оптимальной по быстродействию замкнутой системы: измеряют величины и ; вычисляют функцию ; если она положительна, то принимают , если отрицательна, то .

В итоге выражение для оптимального управления можно записать в виде:

. (7.26)

Изобразим структурную схему оптимальной системы управления объектом второго порядка (рис. 7.3). Для этого используем уравнения состояния (7.13) и выражение для оптимального управления (7.26). Устройством, реализующим функцию сигнума , является релейный элемент (РЭ).

 

Рисунок 7.3 – Структурная схема оптимальной системы управления объектом второго порядка