Задачи с подвижными концами

Ранее мы считали, что точки , , и заданы (см. определение допустимой функции). Но в ряде случаев они могут быть неизвестными. Тогда рассмотрим методику решения задач, в которых необходимо подобрать такую функцию , чтобы функционал принимал наименьшее значение.

Для нахождения пяти неизвестных величин , , , и необходимо пять уравнений.

Функцию можно найти из уравнения Эйлера (4.6):

. (4.14)

Четыре другие неизвестные можно найти из равенства нулю первых производных:

- для нахождения используется условие

; (4.15)

- для нахождения используется условие

; (4.16)

- для нахождения - условие

; (4.17)

- для нахождения - условие

; (4.18)

Условия (4.15)-(4.18) называются условиями трансверсальности.

Методика нахождения , , , и следующая: решив уравнение (4.14) получаем функцию с постоянными интегрирования и . Подставляя полученную функцию в условия трансверсальности (4.15)-(4.18), находим постоянные интегрирования , , и , .

В ряде задач требуется найти оптимальное решение в предположении, что начало и конец решения лежат на некоторых заданных кривых, т.е.

; , (4.19)

где и - известные функции, а , - неизвестные величины.

Тогда для минимизации функционала необходимо найти только , и , так как постоянные интегрирования и заданы условием (4.19). Таким образом, для нахождения трёх неизвестных , и необходимо решить систему из трёх уравнений. Запишем их.

Оптимальное управление можно определить из уравнения Эйлера (4.14):

.

Для нахождения и воспользуемся условиями трансверсальности (4.17) и (4.18), записанными с учётом (4.19) в виде:

; (4.20)

.