Излучение нестационарных полей раскрывом коаксиального волновода с бесконечным фланцем

Электромагнитное поле внутри коаксиального волновода представляется в виде

;

;

; ,

где – цилиндрические координаты, – орт оси волновода, и – электрическая и магнитная постоянные, и – мембранные функции, определяющие распределение поля в сечении волновода.

Поле в свободном пространстве имеет вид

;

;

; ,

где ; , – функция Бесселя, и – эволюционные коэффициенты, описывающие распространение Н- и Е-волн соответственно и удовлетворяющие эволюционным уравнениям

; .

 

Исходя из этих представлений, поле ТЕМ-волны внутри коаксиального волновода имеет вид

; ,

где , – орты цилиндрической системы координат, , и – эволюционные коэффициенты, описывающие падающую и отраженную волны соответственно.

Будем искать решения в свободном пространстве и внутри волновода в виде рядов по цилиндрическим функциям целого индекса.

Е-волна в свободном пространстве

;

 

 

где – неизвестные функции, зависящие только от .

 

Т-волна в волноводе

Падающая Отраженная

; ;
; ;
; .
Неизвестная функция и ее производная определяют зависимость амплитуды отраженной волны от времени и продольной координаты. В начальный момент времени в сечении амплитуда падающей волны равна нулю, и, следовательно, отраженная волна отсутствует.

Е-волна в волноводе

 

 

 

где – неизвестные константы.

Неизвестные коэффициенты в решениях можно найти путем подстановки этих выражений в соотношения, полученные при сопряжении полей в сечении . Для получения полей в свободном пространстве подставим выражения для полей в волноводе в выражения для полей в свободном пространстве и после преобразований получим два равенства

;

.

Пользуясь известной формулой , а также формулой

, ,

можно показать, что коэффициенты вида ; ; при ; при удовлетворяют уравнения. Коэффициенты и равны нулю, так как они не зависят от амплитуды падающего поля. Как видно, только в этом случае амплитуда продольной компоненты поля в свободном пространстве убывает с ростом времени и продольной координаты. Учитывая это, запишем амплитуды всех компонент поля в свободном пространстве:

;

 

,

где .

Временная зависимость поперечных компонент поля отраженной ТЕМ-волны определяется функцией

.

Легко видеть, что и . Первое равенство описывает случай, когда амплитуда падающей волны в начальный момент времени равна нулю – тогда нет и отраженной волны. Второе равенство показывает, что спустя длительное время сумма амплитуд магнитных компонент падающей и отраженной ТЕМ-волн в волноводе будет равна нулю при существовании статической электрической компоненты.

Преобразуем предыдущее выражение к следующему виду:

,

где , . Подынтегральная функция стремится к нулю при как , а при как .

Использование приближения Кирхгофа наиболее справедливо при больших удалениях от источника сигнала. Эти два решения отличаются только коэффициентами, стоящими при слагаемых, которые быстро убывают с увеличением времени и продольной координаты. При фиксированном удалении от центра раскрыва коаксиального волновода, приближенное решение наилучшим образом совпадает с точным вблизи нормали к плоскости излучателя, что уже отмечалось при рассмотрении подобных задач.

Приближенное решение удовлетворяет условиям сопряжения полей в волноводе и в свободном пространстве при , а на остальной части плоскости амплитуды и поперечных электрических, и магнитных компонент излученного поля равнялись нулю. На основе анализа выражения для эволюционного коэффициента можно сделать вывод, что точное решение не будет обладать тем же свойством из-за того, что мы не учитываем токов, наводимых на экране, которые, в свою очередь, также порождают поле в свободном полупространстве.

Рассмотрим поле отраженной ТЕМ-волны в коаксиальном волноводе. Временная зависимость ее амплитуды определяется функцией . В предыдущем пункте отмечалось, что в начальный момент времени отраженной волны нет: , но спустя некоторое время, а именно при , . Таким образом, в момент времени все переходные процессы заканчиваются, излучение из раскрыва и преобразование ТЕМ-волны в Е-волну прекращается. Из этого следует, что при стремлении внешнего радиуса коаксиального волновода к нулю, длительность переходных процессов также стремится к нулю и приближается к функции Хевисайда. Ведь именно из-за излучения и преобразования мод происходит отклонение формы от формы ступенчатой функции.

Приложение 1

(на экзамен не выносится)

Эволюционные уравнения для поперечно-неоднородной среды

 

Уравнение непрерывности

 

материальные уравнения

где

система уравнений Максвелла

(1)

(2)

(3)

(4)

и условие ограниченности энергии

(5)

К этому же добавляются начальные и (или) граничные условия для поля.

 

Нормально-тангенциальная форма уравнений Максвелла

 

Так как и т.д., то

из (3)

(6)

из (4)

(7)

из (2)

(8)

из (1)

(9)

(10)

(11)

Исключение из (10)

 

Сюда вместо подставим (6)

(12)

Умножим (10) слева на

 

(13)

Подействуем на (10) оператором

 

Тогда из (10) получаем

 

Подставим сюда (6), получим

(10а)

Отсюда

подставим (8)

 

. (14)

Подставим в (12) и (14) и запишем результат

(15)

(16)

Подействуем на (8)

 

 

подставим (13)

 

(10б)

Исключение из (11)

или (11)

Подействуем на (11) оператором

 

подставим (7) и получим

(17)

Подействуем на (9) оператором

(18)

Выпишем конечные результаты [(10а), (10в), (17), (18)].

Исключили продольные компоненты

Функциональное пространство четырехмерных векторов ЭМП.

Пусть

Энергетическая метрика в

 

* – комплиментарное сопротивление

 

В рассмотрим две матричные операции

 

(23)

 

(24)

Тогда задачу (19)-(22) можно переписать в виде двух операторных уравнений.

(25)

(26)

Разделили

Слева – дифференцирование по поперечным координатам, условия ограниченности энергии,

справа – дифференцирование по продольной координате и времени, источники.