Магнитный диполь Герца

Моделью элементарного магнитного излучателя может быть бесконечно малая рамка с током (петля)., для которой в силу равенства входящего и выходящего тока и . Следовательно, скалярный потенциал .

X

Y

Z

O

 

 

Для нее в силу равенства входящего и выходящего тока , тогда , следовательно, скалярный потенциал . В силу этого

Ппредставляет интерес только векторный потенциал

, (1)

где .

Если , то , тогда

.

Пользуясь Рразложением в ряд Тейлора с удержанием первых двух слагаемых

 

, если x – мало, для функции

Пусть тогдаимеем , где .

Тогда подставим в (1) и получим

.

Расстояние до точки наблюдения r в знаменателе первого слагаемого можно вынести за знак интеграла и убедиться, что первое слагаемое дает нулевой вклад в потенциал в силу замкнутости токов. Обозначая производную по времени точкой, перепизапишем

.

Проведем некоторые векторные преобразования с имеющимся вектором .

Так как.к. , то

Заменим второе слагаемое согласно вышеуказанной формуле для двойного векторного произведения и получим

.

Подставляя полученное преобразование в выражение для векторного потенциала, с учетом того, что вместо мы можем таким же образом подставить , получим

 

Докажем, что в нашей задаче вектор .

Домножим на произвольный вектор

,

где градиент действует по штрихованным координатам. Данное равенство легко проверить, используя соотношение

 

,

следующим образом:

 

Заменяя подынтегральную функцию, и используя тождество

 

получим

.

Данное скалярное произведение тождественно равно нулю в силу того, что первое слагаемое может быть преобразовано по теореме Гаусса-Остроградского к интегралу по замкнутой поверхности, на которой токи равны нулю, а второе слагаемое тождественно равно нулю в силу того, что в нашей задаче . То есть, .

 

Так как вектор был произвольным, то , тогда

.

Введём магнитный момент

, тогда .

Так .как. скалярный потенциал , то

или после подстановки;

.

Если петля с током лежит в плоскости XOY, то магнитный момент направлен вдоль оси OZ. Спроецируем полученный вектор на орты сферической системы координат:

;

 

;

;

.

В силу осевой симметрии задачи, пренебрегая местом запитки петли, имеем , и, учитывая, что , в силу равенства нулю соответствующих компонент электрического поля, полученного выше, имеем

;

.

Рассмотрим петлю с током и рассчитаем для нее магнитный момент

в двух системах координат.

В цилиндрической системе координат:

, ,

.

В сферической системе координат:

т.к. , то зададим

, ,

Подставляя полученный магнитный момент петли, имеем

;

;

;

;

.

Видно, что волна с наименьшим убыванием в пространстве имеет временную зависимость в виде второй производной от возбуждающего тока. Квазистатическая составляющая убывает обратно пропорционально кубу расстояния, и ее временная зависимость совпадает с временной зависимостью тока. Как и в предыдущем случае, продольная компонента поля убывает быстрее поперечных.