Математические понятия, предложения, доказательства.

О языке математических знаков.

Школьная математика включает фрагменты различных математических теорий: арифметики, алгебры, геометрии, математического анализа в неформальном изложении.

Отличительная черта математики в том, что в ней используется символический язык как рабочий аппарат. Как правило, словесно символьный язык чаще используется в школе, т.е. символы дополняются записями на русском языке, но учитель должен понимать, что любое математическое рассуждение может формализовано.

Остановимся на «грамматике» языка математических знаков. Знаки и комбинации знаков имеющие самостоятельный смысл бывают четырех сортов:

1) Запись является обозначением какого либо определенного вида (2.3-0.6:2; (1001²-999²)/(1001+999)).

Являются обозначением одного и того же числа «2».

2) Записи, которые содержат знаки переменных и превращаются в запись первого рода при замене всех переменных (x+y).

3) Высказывания – записи относительно которых имеет смысл вопрос истинны они или ложны ((1001²-999²)/(1001+999)=5).

4) Записи которые содержат знаки переменных и превращаются в высказывания при замене всех входящих в них переменных именами предметов (x+y=3).

Записи первых двух сортов называют термами, третьего и четвертого – формулами. Термы не содержащие переменных являются именами предметов, а формулы не содержащие переменных высказываниями.

Математические понятия.

Термин понятие с логической точки зрения определяется как мысль о предметах и явлениях действительности, отображающее их общие существенные признаки связи и отношения.

Каждое понятие объединяет в себе класс объектов (вещей, отношений). Это объем понятия и характеристическое свойство присуще всем объектам этого класса только им. Например, понятие треугольник содержит в себе класс всевозможных треугольников, это объем понятия и характеристические свойства, наличие трех сторон, трех вершин, трех углов – содержание понятия.

Понятие уравнение соединяет в себе класс всевозможных уровней, объем понятия и характеристическое свойство равенства, содержащее одну или несколько переменных.

Содержание понятия раскрывается с помощью определения, объект с помощью классификации. Посредством определения и классификации отдельные понятия организуются в систему взаимосвязанных понятий.

Формирование понятия – сложный психологический процесс, протекающий часто по следующий схеме: ощущение, восприятие, представление, понятие.

В философии этот процесс описывают как от живого к созерцанию, к наглядному представлению и от него к понятию.

Заключительным этапом формирования понятия является его определение.

В математике и в обучении математике применяются различные способы определения понятий. Чаще всего, особенно в геометрии, встречаются определения через ближайший род и видовое отличие. Например, прямоугольником называется параллелограмм с прямыми углами. Прямоугольник определяемое понятие, параллелограмм ближайший род – определяющее понятие. Прямой угол видовое отличие.

Требования к определениям:

1) В определении не должно быть «порочного круга»;

2) Каждый термин должен определяться только один раз;

3) Принцип однозначности. Символ, термин используется в качестве имени не более одного раза.

4) Принцип замены имен, предложение меняет своего истинного значения, если заменить некоторые слова синонимами ((АВ) или «прямая АВ»

Математические предложения.

Каждая математическая теория представляет множество предложений описывающее какую-то структуру, или какой-то аксиоматизируемый класс структур.

Принадлежность предложения к некоторой математической теории определяется двумя признаками:

1) Предложение записано или сформулировано на языке данной теории состоит из математических и логических терминов или символов и не содержит никаких других терминов и символов.

2) Предложение истинно, т.е. это или аксиома или это предложение доказывается.

Примеры:

a) Сумма углов всякого треугольника = 180 градусам. Записано на языке геометрии, хотя и на русском одновременно.

b) Прямая имеет вид туго натянутой нити. Содержит термины имеет вид, туго натянутая нить не принадлежат языку геометрии.

Раскрыть логическую структуру сложного предложения значит показать из каких элементарных предложений сконструирована данное сложное предложение.

Любое повествовательное предложение, относительно которого известно истинно оно или ложно является высказыванием. Высказывание может выражено в виде слов и в виде знаков.

Восклицательное, вопросительное предложение не являются высказыванием.

Предложение с переменными называют высказываниями или формами .

Высказывание, которое можно разложить на части называют сложным высказыванием. Конструируются сложные предложения при помощи логических операций ( , и, или, если то, тогда и только тогда, отрицание).

Основные виды математических предложений:

1. Аксиома – (от греч. Авторитетное предложение) предложение принимаемое без доказательства.

Аксиомы и понятия составляют фундамент математической теории.

К системе аксиом предъявляются требования:

1) Независимость;

2) Непротиворечивость;

3) Полнота.

2. Постулат – (от латинского – требование) предложение в котором выражаются некоторое требование, которому должно удовлетворять понятие или отношение между понятиями. Например, отношение эквивалентности удовлетворяет трем постулатам:

1) Рефлексивно (а=а);

2) Симметрично (а=в, в=а);

3) Транзитивно (а=в, в=с, а=с).

Математические доказательства.

Математические предложения, истинность которых доказывается – теоремы. Теоремы состоят из трех частей:

1) Описание множества X;

2) Условие теоремы (А(х));

3) Заключение теоремы (В(х)).

Например, если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольников.

X – множество всех параллелограммов; А(х) – диагонали параллелограмма равны; В(х) – параллелограмм – треугольник.

В школьном курсе математике существуют формальные и неформальные доказательства теорем.

Доказательства бывают логически полными, тогда включаются:

1) Точные понятия;

2) Все посылки доказаны или это аксиомы;

3) Все промежуточные рассуждения доказаны;

4) Явно указано используемое правило вывода.

Свернутое доказательство:

1) Интуитивное понятие;

2) Опускают некоторые, в частности, общие посылки;

3) Опускают отдельные шаги, т.е. промежуточные рассуждения4

4) Не фиксируют используемую логику.