Научные методы.

В процессе обучения математике школьники становятся в положение исследователей, первооткрывателей математических фактов. По этому методы научного познания, методы математических исследований служат и методами преподавания математики.

Наблюдение и опыт.

Наблюдение – метода изучения, фиксирования свойств и отношений отдельных объектов и явлений окружающего мира. При наблюдении объект изучается в естественных условиях. Необходимо отличать наблюдение от простого восприятия. Восприятие как психический процесс не исчерпывает наблюдение. Наблюдение не возможно без фиксирования.

Опыт – метод изучения объектов и явлений посредством которого мы вмешиваемся в из естественное состояние и развитие. Всякий опыт эксперимент связан с наблюдением. В математике наблюдение и опыт не являются ведущими методами, но они играют большую роль преподавании математики.

Примеры:

1) В геометрии: прежде чем доказать теорему о том, что сумма углов в треугольнике =180 градусам, учитель просит измерить все углы в треугольнике.

2) Перед доказательством теоремы Виетто предлагается школьникам несколько приведенных квадратных уравнений и сравнивается произведение и сумма корней с коэффициентами.

Вывод: Наблюдение и опыт приводят учащихся к выводам, которые потом надо доказать.

Сравнение.

Метод изучения познаваемых объектов с целью выявления сходства и различиям между ними. Сравнение разных объектов способствует лучшему уяснению свойств каждого из этих объектов.

Существует две формы сравнения:

1) Сопоставление;

2) Противопоставление.

Например:

1) Для запоминания формул объема пирамиды и конусу сопоставляют их.

2) При изучении векторов полезно противопоставить свойства сколярного произведения чисел .

3) Полезно сравнивать понятия тетраэдра (треугольная пирамида) правильного треугольника и правильной треугольной пирамиды.

4) Очень полезно сопоставлять теоремы, поэтому в школе часто используется методы от противного.

5) Совместное изучение двух взаимно обратных операций эффективнее чем их раздельное изучение (раскрытие скобок, вынесение общего множителя за скобки, дифференцирование и интегрирование и т.д).

Аналогия.

Аналогия – один из самых распространенных методов научного исследования.

Аналогия – это метод изучения познаваемых объектов с целью выявления подобия сходства в их свойствах, признаках, отношениях при этом сами объекты различны.

Аналогия является важнейшим источником гипотез. Аналогия доступна, проста в рассуждениях, но она убеждает, но не доказывает.

В преподавании математики аналогия используется при изучении:

1) Десятичных дробей. Десятичные дроби по аналогии с натуральными.

2) Алгебраические дроби. По аналогии с обыкновенными дробями.

3) Задачи на составление квадратичных уравнений оформляются аналогично решению текстовых задач на составление линейных уравнений.

К сожалению аналогия является и источником ошибок, учитель должен понимать источник этих ошибок.

Обобщение.

Метод изучения познавательных объектов с целью мысленного выделения каких-нибудь общих существенных свойств. Присущих только данному множеству объектов.

Процесс обобщения научных фактов является важнейшей составляющей любой науки.

При обучении математике обобщение часто применяется:

1) В процессе формирования понятий;

2) При переходе к обобщению справедливо утверждение – площадь четырехугольников с взаимно перпендикулярными диагоналями равна половине произведения длин этих диагоналей.

Обобщение этого – площадь четырехугольника равна половине произведения длин этих диагоналей на синус угла α.

Абстрагирование.

Конкретизация.

Метод изучения познавательных объектов при котором односторонне фиксируется та или иная сторона объекта изучения вне связи с другими его сторонами.

Процесс конкретизации противопоставлен процессу абстрагирования.

Конкретизация раскрывает содержание научных абстракций путем включения реальных фактов и их отношения.

Конкретизация отличается от иллюстрации, которая показывает на примерах какое либо правило. Например, конкретизация понятия квадратного уравнения должна включать все типы квадратных уравнений приведенных, не приведенных, полных и не полных. А иллюстрация это когда приводится примером.

Но конкретизация может выступать:

1) Как наглядная иллюстрация;

2) Как подтверждение какого либо абстрактного положения;

3) Как приложение некоторого свойства конкретных условиях.

Например, для натуральных чисел:

1) a+(b+c)=(a+b)+c

3+(4+2)=(3+4)+2

2) После изучения формул сокращенного умножения

(a+b)²=a²+2ab+b²

51²=(50+1)²=50²+2*50*1+1=2601

 

Анализ и синтез.

Анализ – прием мышления при котором от следствия переходят к причине породившей это следствие.

Синтез – прием мышления при котором от причины идут к следсвию.

Как правило анализ и синтез применяются вместе, представляя аналитико-синтетический метод.

Например, доказать

 

Анализ	Синтез

 

Сущность аналитического доказательства, исходное то утверждение которое надо доказать и путем логически обоснованных шагов она сводится к истинному утверждению.

Синтетический метод доказательства в том, что подбираются истинное решение и получается искомое. Этот метод труден для школьников, самостоятельно, как правило, не могут применить. Поэтому целесообразно с помощью анализа вести поиск решения, а с помощью синтеза производить доказательства.

Одной из форм анализа является метод восходящего анализа, его суть заключается в следующем, для того чтобы было верно утверждение (а) достаточно доказать (б), для того чтобы доказать (б) нужно доказать (с) и т.д.

Метод восходящего анализа обладает рядом педагогических достоинств:

1) Сознательно и самостоятельно отыскание решения;

2) Способствует логическому развитию школьника;

3) Обеспечивает целенаправленность действий на каждом этапе;

4) Схема использования этого метода проста.

Еще одной формой аналитического метода является тщательный анализ всех условий задачи, для этого аккуратно выписывают все условия задачи, анализируют, сопоставляют и находят решение задачи.

Индукция и дидукция.

Индукция (наведение) – вывод общего предложения на основе рассмотрения частного случая. Этот метод рассуждения от частного к общему.

Дедукция (выведение) – вывод из общего суждения частного суждения, способ рассуждения от общего к частному.

Если в индукции вывод делается на основе перебора всех возможных частных случаев, то индукция называется полной. Полная индукция и дедукция дают достоверные выводы.

Неполная индукция приводит лишь к возникновению гипотезы, которую надо доказать.

Очень часто в школе используют неполную индукцию под видом полной, но это методический прием.

Метода математической индукции основана на аксиоме индукции в аксиоматике Пиано для натуральных чисел, это дедуктивный метод:

1) Считаем для n=1;

2) Индуктивное предположение для k+1, следовательно верное для всех натуральных чисел.