Теоретическая модель СВИС на основе трехуровневой среды

Рассмотрим СВИС с однонаправленной накачкой, вводимой в активное волокно в точке с координатой и распространяющейся в направлении .

Мощность накачки уменьшается с ростом из-за поглощения, поэтому величина наведенной накачкой инверсии и усиления также зависят от . Спонтанное излучение усиливается при распространении в двух направлениях: прямом и обратном и формирует две волны ASE. Эти волны насыщают возбужденные состояния активных ионов и изменяют инкременты усиления ASE и поглощения накачки.

В случае трехуровневой модели активной среды, применимой к переходу ⁴F_13/2 →⁴I_15/2 ионов Er³⁺ физические процессы в СВИС описываются системой связанных уравнений для накачки, основного и возбужденного состояний ионов и двух встречных волн ASE. Волны усиленного спонтанного излучения – случайные волны с широким спектром. Коэффициенты усиления и поглощения зависят от частоты спектральной компоненты ASE ввиду спектральной зависимости сечений взаимодействия. Разделим волны ASE на спектральные компоненты с узким спектром и обозначим их мощности в точке и на частоте следующими символами: . Временная эволюция введенных волн и волны накачки может быть описана следующей системой уравнений:

 

где и - инкремент усиления сигнала на частоте и коэффициент спонтанного излучения в точке с координатой и - коэффициент поглощения накачки. Инкременты усиления и поглощения а также коэффициент спонтанной эмиссии зависят от населенностей возбужденного и основного состояний и :

где и - сечения поглощения и излучения соответственно. Второй член в выражении для коэффициента поглощения был включен для того, чтобы учесть возможность накачки по квази- двухуровневой схеме, например накачку ионов эрбия излучением с длиной волны 1480 нм.

Плотности инверсной населенности могут быть найдены из решения скоростных уравнений. Стационарное решение в случае однородного уширения имеет вид:

где - плотность активных ионов, - суммарная мощность волн в двух направлениях (. Населенность возбужденного уровня может быть найдена из условия сохранения числа электронов и выражения для населенности нижнего уровня. Параметры и - эффективные площади мод накачки и усиленного спонтанного излучения соответственно. В общем случае эти площади определяются интегралами перекрытия между пространственной структурой соответствующих мод и распределением примесных ионов.

Интенсивности насыщения определяются следующими выражениями:

,
где и - энергии фотонов соответствующих волн, а - время релаксации возбужденного состояния.

В рассмотренной модели не учитываются эффекты поглощения из возбужденных состояний. Такие эффекты можно учесть введением соответствующих коэффициентов поглощения для волны накачки и/или волны усиенного спонтанного излучения. Также в модели не учитывается эффект тушения люминесценции, влияние которого может увеличиваться при кластеризации активных ионов в случае их высокой концентрацией.

Для определенного типа волокна с известными параметрами и определенной частоты волны интенсивности насыщения известны, а эффективные площади сечения могут быть рассчитаны. Оставшиеся (2n+1) переменные – это распределение мощности накачки и спектральных компонент усиленного спонтанного излучения. Они вычисляются путем решения (2n+1) связанных уравнений, приведенных выше, с учетом граничных условий. Граничные условия определяют мощности накачки и компонент сигнала на обеих границах волокна.

В простейшем случае однонаправленной накачки мощность вводится только на границе и граничные условия для накачки имеют вид: и . В однопроходном усилителе без обратной связи граничные условия для всех компонент усиленного спонтанного излучения нулевые: .

Если присутствует обратная связь, то необходимо соответственно изменить граничные условия. Например если в forward SFS (рис.1а) небольшая часть выходной мощности (в прямом направлении) возвращается в активное волокно, то граничные условия в точке принимают следующий вид: для всех от 1 до . Очень похожие уравнения и граничные условия используются для описания оптических усилителей.

Для моделирования и вычисления выходной мощности и спектра SFS необходимо решить систему из 2n+1 связанных дифференциальных уравнений. Если бы нам были известны значения мощности накачки, сигналов, распространяющегося вперед и назад, во входной плоскости , то эту систему уравнений было бы легко решить численно анализируя последовательное распространение накачки и сигналов спонтанного излучения вдоль волокна от плоскости к плоскости . Однако это не возможно, т.к. значение мощности встречного УСИ в точке не известно. Оно известно только в точке . Из-за этого сложность вычислений значительно возрастает, т.к. задачу приходится решать итерационными методами используя интеллектуальные алгоритмы.