Приведение произвольной системы сил к силе и паре сил

Докажем основную теорему статики (теорему Пуансо): любую произвольную систему сил, действующих на твердое тело, можно в общем случае привести к силе и паре сил.

 

Такой процесс замены системы сил одной силой и парой сил называют приведением системы сил к заданному центру.

Пусть дана произвольная система сил (), приложенных к твердому телу. Выберем произвольную точку О тела за центр приведения и каждую силу заданной системы сил приведем к точке О (см. рис.). Получим

() ~ {; (), (), …, ()} .

Таким образом, система из п сил заменена системой из 3п сил, т. е. в точке О приложена система сходя­щихся сил () и на твердое тело действует также система п присо­единенных пар сил

{(), (), …, ()} .

 

Векторные моменты присоединен­ных пар сил, можно выразить через векторные мо­менты заданных сил:

; i= 1, 2, ..., п.

Систему сходящихся сил () заменим их равнодействующей , которая равна векторной сумме сил и геометрически изображается замыкающим вектором силового многоугольника, построенного на этих силах.

Итак, () ~ (), где

Для системы сходящихся сил () сила является равнодействующей силой, а для заданной системы сил () сила является лишь только ее векторной суммой, или главным вектором.

Главным вектором системы сил называют вектор, равный векторной сумме этих сил. Он изображается векто­ром, замыкающим силовой многоугольник, построенный на силах, т. е.

Систему присоединенных пар сил (,),(,), … ,(,) по тeopeме о сложении пар сил можно заменить одной парой сил (,) с векторным моментом ,

который называют главным моментом. Главный момент равен сумме векторных моментов присоединенных пар. Учиты­вая формулу для имеем

Индекс О означает, что за центр приведения взята точка О. Итак, главным моментом системы сил относительно точки О тела называют сумму векторных моментов всех сил системы относительно этой точки.

Главный момент системы сил является вектором, замыка­ющим векторный многоугольник, образованный при сложении векторных моментов сил системы относительно выбранного центра.

Таким образом, доказана основная теорема статики: лю­бую систему сил, действующих на твердое тело, можно привести к силе, равной главному вектору системы сил, и паре сил, векторный момент которой равен главному мо­менту системы сил относительно точки, выбранной за центр приведения.

В краткой форме эту теорему можно выразить так:

~ () ,

т. е. каждую систему сил можно. привести к главному вектору и главному моменту относительно произвольного центра. Следу­ет учитывать, что это условная форму­лировка основной теоремы. Главный мо­мент характеризует действие на тело пары сил (Ф, Ф'), лежащей в плоскости, перпендикулярной главному моменту.