Репер Френе при круговом движении точки

 

Построим явные зависимости ортов и репера Френе от радиуса и длины дуги на круговом движении.

Согласно формулам Френе, имеем

 

, , (1.3.10)

 

где — радиус кривизны.

 

Здесь воспользовались известным соотношением

 

для окружности.

 

После подстановки (1.3.6),(1.3.7):

, ,,(1.3.6)

 

, (1.3.7)

 

в формулу для направляющего вектора касательной находим

. (1.3.11)

 

Далее, введя обозначение

 

и подставляя в него (1.3.6)

, ,,(1.3.6)

 

получим зависимость орта от угла в следующем виде:

.

 

А тогда, учитывая равенства (1.3.11) и (1.3.7):

 

, (1.3.11)

 

, (1.3.7)

 

окончательно для орта будем иметь

 

. (1.3.12)

 

Зависимость орта от и получим, подставив орт из (1.3.12) во вторую формулу Френе (1.3.10):

 

, (1.3.10)

 

После дифференцирования по выражение для вектора примет вид

 

. (1.3.13)

 

Формулы (1.3.12) и (1.3.13) позволяют вычислить два орта репера Френе в любой точке окружности.

 

Третий вектор репера Френе – орт бинормали совпадает с ортом . Он не зависит от положения точки на окружности.